Mostre que o campo vetorial
é conservativo, onde
. Obtenha o respectivo potencial
e calcule
onde
é qualquer curva regular ligando os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com componentes
Pede-se: (1) mostrar que o campo é conservativo; (2) obter um potencial
tal que
; (3) calcular
para qualquer curva regular
que liga
a
.
Passo 2
O que significa na prática “campo conservativo” aqui e como checar? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas.
Se existe um potencial
com
, então necessariamente
Em domínios simplesmente conexos (e
é simplesmente conexo), uma condição suficiente e necessária para existir tal
é a igualdade das derivadas cruzadas:
Aqui eu calculei as derivadas parciais:
porque
e a derivada em relação a
anula
e deixa
.
porque
e a derivada em relação a
de
é
e
some (é constante em
).
Como as duas derivadas coincidem ( ), a condição é satisfeita. Portanto o campo é conservativo em
.
Como as duas derivadas coincidem (
Passo 3
Agora vamos construir o potencial
. A ideia é integrar a relação
em relação a
, tratando
como constante nessa integração. Faço a integral termo a termo:
Integro
em
: como
é constante, fica
.
Integro
em
:
.
Portanto uma candidata a
é
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
perdemos possíveis termos que dependem só de
).
Passo 4
Agora uso a outra relação
para determinar
. Calculo
a partir da expressão acima:
Derivando
em relação a
dá
.
Derivando em relação a
dá
.
Derivando em relação a
dá
.
Derivando
Derivando
Assim
Devemos ter isto igual a
. Igualando,
Integro
em
:
onde
é constante real (podemos escolher
porque potenciais são definidos até uma constante).
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos o potencial (escolhendo
para simplicidade)
Verificação rápida: calcule
e
. Perfeito.
Passo 6
Agora use a independência de caminho: para qualquer curva
que vai de
a
,
Vou calcular
em
e em
.
Calcule
. Temos
.
Computando termo a termo:
Somando:
Calcule
. Temos
.
Termo a termo:
Somando:
Passo 7
Finalmente, o integral pedido
é
Agrupando termos: