Mostre que o campo vetorial \mathbf{F}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} é conservativo, onde \mathbf{F}(x, y)=\left((\cos (x)) y+x^{2}\right) \mathbf{i}+ \left(\sin (x)+y^{3}\right) \mathbf{j}. Obtenha o respectivo potencial U(x, y) e calcule I=\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} onde C é qualquer curva regular ligando os pontos A(\pi / 2,-2) e B(-\pi / 2,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com componentes
P(x,y) = (\cos(x))\,y + x^{2},\qquad Q(x,y)=\sin(x)+y^{3}.
Pede-se: (1) mostrar que o campo é conservativo; (2) obter um potencial U(x,y) tal que \nabla U=\mathbf{F}; (3) calcular I=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} para qualquer curva regular C que liga A\bigl(\tfrac{\pi}{2},-2\bigr) a B\bigl(-\tfrac{\pi}{2},1\bigr).

Passo 2

O que significa na prática “campo conservativo” aqui e como checar? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pular etapas.
Se existe um potencial U(x,y) com \nabla U=\mathbf{F}, então necessariamente
\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y),\qquad \frac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y).
Em domínios simplesmente conexos (e \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo), uma condição suficiente e necessária para existir tal U é a igualdade das derivadas cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
Aqui eu calculei as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \cos(x)
porque P(x,y)=(\cos x)\,y + x^2 e a derivada em relação a y anula x^2 e deixa \cos x.
\frac{\partial Q}{\partial x} = \cos(x)
porque Q(x,y)=\sin x + y^3 e a derivada em relação a x de \sin x é \cos x e y^3 some (é constante em x).
Como as duas derivadas coincidem ( \cos(x)=\cos(x)), a condição é satisfeita. Portanto o campo é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Agora vamos construir o potencial U(x,y). A ideia é integrar a relação
\frac{\partial U}{\partial x}=P(x,y)=(\cos x)\,y + x^{2}
em relação a x, tratando y como constante nessa integração. Faço a integral termo a termo:
Integro (\cos x)\,y em x: como y é constante, fica y\int \cos x\,dx = y\sin x.
Integro x^{2} em x: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.
Portanto uma candidata a U é
U(x,y)=y\sin x + \frac{x^{3}}{3} + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x perdemos possíveis termos que dependem só de y).

Passo 4

Agora uso a outra relação \dfrac{\partial U}{\partial y}=Q(x,y) para determinar g(y). Calculo \partial U/\partial y a partir da expressão acima:
Derivando y\sin x em relação a y \sin x.
Derivando \dfrac{x^{3}}{3} em relação a y 0.
Derivando g(y) em relação a y g'(y).
Assim
\frac{\partial U}{\partial y} = \sin x + g'(y).
Devemos ter isto igual a Q(x,y)=\sin x + y^{3}. Igualando,
\sin x + g'(y) = \sin x + y^{3} \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=y^{3}.
Integro g'(y)=y^{3} em y:
g(y)=\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4} + C,
onde C é constante real (podemos escolher C=0 porque potenciais são definidos até uma constante).

Passo 5

Substituindo g(y) em U, obtemos o potencial (escolhendo C=0 para simplicidade)
U(x,y)=y\sin x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4}.
Verificação rápida: calcule \partial U/\partial x = y\cos x + x^{2}=P e \partial U/\partial y=\sin x + y^{3}=Q. Perfeito.

Passo 6

Agora use a independência de caminho: para qualquer curva C que vai de A a B,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = U(B)-U(A).
Vou calcular U em A\bigl(\tfrac{\pi}{2},-2\bigr) e em B\bigl(-\tfrac{\pi}{2},1\bigr).
Calcule U(A). Temos \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
U\!\left(\tfrac{\pi}{2},-2\right) = (-2)\cdot 1 + \frac{(\tfrac{\pi}{2})^{3}}{3} + \frac{(-2)^{4}}{4}.
Computando termo a termo:
(-2)\cdot 1 = -2,\qquad \frac{(\tfrac{\pi}{2})^{3}}{3} = \frac{\pi^{3}}{24},\qquad \frac{(-2)^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4.
Somando:
U\!\left(\tfrac{\pi}{2},-2\right) = -2 + \frac{\pi^{3}}{24} + 4 = 2 + \frac{\pi^{3}}{24}.
Calcule U(B). Temos \sin\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
U\!\left(-\tfrac{\pi}{2},1\right) = 1\cdot(-1) + \frac{(-\tfrac{\pi}{2})^{3}}{3} + \frac{1^{4}}{4}.
Termo a termo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad \frac{(-\tfrac{\pi}{2})^{3}}{3} = -\frac{\pi^{3}}{24},\qquad \frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Somando:
U\!\left(-\tfrac{\pi}{2},1\right) = -1 - \frac{\pi^{3}}{24} + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} - \frac{\pi^{3}}{24}.

Passo 7

Finalmente, o integral pedido I é
I = U(B)-U(A) = \left(-\frac{3}{4} - \frac{\pi^{3}}{24}\right) - \left(2 + \frac{\pi^{3}}{24}\right).
Agrupando termos:
I = -\frac{3}{4} - 2 - \frac{\pi^{3}}{24} - \frac{\pi^{3}}{24} = -\frac{11}{4} - \frac{\pi^{3}}{12}.

Resposta

U(x,y)=y\sin x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{y^{4}}{4}\n I=\displaystyle -\dfrac{11}{4}-\dfrac{\pi^{3}}{12}

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