Mostre que o campo vetorial
é conservativo, onde
e
. Obtenha o respectivo potencial
e calcule
onde
é qualquer curva regular ligando os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- Mostrar que o campo vetorial
é conservativo. - Encontrar o potencial escalar
tal que . - Calcular
onde é qualquer curva regular ligando a .
Informações fornecidas:
.
Pontos: e
.
Pontos:
Passo 2
Critério para conservatividade (explicando do zero):
- Para um campo vetorial em duas dimensões
, uma verificação prática é calcular as derivadas parciais cruzadas e . - Se
em todo o domínio e o domínio for simplesmente conexo (sem “buracos”), então é conservativo (isto é, existe potencial com ). - Aqui o domínio
é aberto e convexo (logo simplesmente conexo), então podemos aplicar esse critério com segurança.
Agora identifique
e
:
Calcule as derivadas parciais:
(derivando
em relação a
dá
;
não depende de
).
Como
em todo
e
é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Encontrando o potencial
(explicando passo a passo):
- Queremos
tal que e . - Começamos integrando
em relação a , tratando como constante:
Integramos termo a termo:
Aqui explico:
(no domínio
usado aqui,
é bem definido).
porque a primitiva de
é
.
Portanto ao integrar
obtemos, até uma função de
(constante em relação a
):
onde
é uma função desconhecida que aparece porque ao integrar em
pode surgir uma “constante” que depende de
.
Passo 4
Determinar
impondo
:
- Calcule
a partir de :
pois
e
não depende de
.
- Igualamos ao dado
. Observe que . Assim
Cancelando
dos dois lados vem
- Integramos em
:
onde
é constante real arbitrária.
Passo 5
Escrever o potencial final e escolher constante:
- Assim um potencial válido é
- Em problemas de integrais de linha, podemos tomar
(constante não altera gradiente nem a diferença de potenciais). Portanto usaremos
Passo 6
Calcular
usando o potencial (explicação do teorema fundamental para campos conservativos):
- Para campo conservativo, a integral de linha entre dois pontos independe da curva e vale a diferença de potenciais:
Avalie
nos pontos
e
.
- Primeiro
:
(usei
e
.)
- Depois
:
(usei
e
.)
- Agora a diferença:
Realizando a subtração das frações:
Portanto
Resposta
Conservativo: Sim.
Potencial: (podemos tomar
).
Potencial: