Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
ointgamma(x^4-y^3) d x+(x^3+y^5) d y
numa integral dupla e calcule, onde gamma é o círculo unitário de centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla. A integral de linha que temos é:
ointgamma(x^4-y^3) dx+(x^3+y^5) dy
E o contorno gamma é o círculo unitário centrado na origem. Basicamente, a gente vai passar de uma integral ao longo de uma curva para uma integral que cobre toda a área dentro dessa curva. Vamos usar o Teorema de Green e resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada gamma que delimita uma região D, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre D. A fórmula do Teorema de Green é:
ointgamma (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
No nosso caso, identificamos:
  • P = x^4 - y^3
  • Q = x^3 + y^5
Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Vamos lá, calcular essas derivadas!
Primeiro, partial Qpartial x:
Q = x^3 + y^5 Rightarrow partial Qpartial x = 3x^2
Segundo, partial Ppartial y:
P = x^4 - y^3 Rightarrow partial Ppartial y = -3y^2
Agora, vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y:
3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 4

Agora que temos partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 + 3y^2, vamos montar a integral dupla sobre a região D, que é o círculo unitário. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta, e o elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta.
Primeiro, note que x^2 + y^2 = r^2, então:
3x^2 + 3y^2 = 3r^2
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 3r^2 , r , dr , dtheta = integral duplaD 3r^3 , dr , dtheta
Os limites de integração para r vão de 0 a 1 (raio do círculo unitário) e para theta vão de 0 a 2pi (completando o círculo).

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^2pi integral0^1 3r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 3r^3 , dr = 3 [ r^44 ]0^1 = 3 ( 14 - 0 ) = 34
Agora, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 34 , dtheta = 34 [ theta ]0^2pi = 34 (2pi) = 32 pi

Resposta

A integral vale dfrac32 pi.

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