Utilizando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule, onde
é o círculo unitário de centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente usar o Teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla. A integral de linha que temos é:
E o contorno
é o círculo unitário centrado na origem. Basicamente, a gente vai passar de uma integral ao longo de uma curva para uma integral que cobre toda a área dentro dessa curva. Vamos usar o Teorema de Green e resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha pode ser transformada em uma integral dupla sobre
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, identificamos:
Então, vamos precisar calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos lá, calcular essas derivadas!
Primeiro,
:
Segundo,
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos montar a integral dupla sobre a região
, que é o círculo unitário. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
, e o elemento de área
vira
.
Primeiro, note que
, então:
Então, nossa integral dupla fica:
Os limites de integração para
vão de 0 a 1 (raio do círculo unitário) e para
vão de 0 a
(completando o círculo).
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale
.