Sejam
e
.
a) Calcule
, onde
, é uma parametrização de
.
b) Calcule
, onde
é a região interna delimitada por
.
c) Vale a igualdade
?
a) Calcule
b) Calcule
c) Vale a igualdade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular integrais de linha e duplas envolvendo as funções
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Precisaremos parametrizar a curva
, calcular as derivadas parciais e aplicar os teoremas apropriados para obter as respostas das partes a), b) e c).
Passo 2
Parte a) Queremos calcular a integral de linha
, onde
é o círculo unitário parametrizado por
para
.
Primeiro, vamos expressar
e
em termos de
:
Substituindo
e
nas funções
e
:
Agora, substituímos tudo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos calcular a integral dupla
, onde
é a região interna delimitada por
.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Para
:
Usamos a regra do quociente:
Para
:
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
Agora, calculamos
:
Portanto, a integral dupla é:
Passo 4
Parte c) Agora, vamos verificar se a igualdade
é válida.
Calculamos na parte a) que
e na parte b) que
. Claramente,
, então a igualdade não se mantém.
Isso acontece porque as funções
e
têm uma singularidade no ponto
, que está dentro da região
. O Teorema de Green requer que
e
sejam continuamente diferenciáveis na região e em sua fronteira. Como há uma descontinuidade em
, o Teorema de Green não se aplica diretamente, e por isso a igualdade não é válida neste caso.
Resposta
a)
b)
c) A igualdade
não vale.