Sejam P(x, y)=-yx^2+y^2 e Q(x, y)=xx^2+y^2.
a) Calcule ointgamma P d x+Q d y, onde r(t)=(cos t, sen t), 0 <= t <= 2 pi, é uma parametrização de gamma.
b) Calcule integral duplaD(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d x d y, onde D é a região interna delimitada por gamma.
c) Vale a igualdade ointgamma P d x+Q d y=integral duplaD(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d x d y ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular integrais de linha e duplas envolvendo as funções P(x, y) = -yx^2 + y^2 e Q(x, y) = xx^2 + y^2 . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green. Precisaremos parametrizar a curva gamma, calcular as derivadas parciais e aplicar os teoremas apropriados para obter as respostas das partes a), b) e c).

Passo 2

Parte a) Queremos calcular a integral de linha ointgamma P , dx + Q , dy, onde gamma é o círculo unitário parametrizado por r(t) = (cos t, sin t) para 0 <= t <= 2pi.
Primeiro, vamos expressar dx e dy em termos de t:
dx = ddt(cos t) , dt = -sin t , dt
dy = ddt(sin t) , dt = cos t , dt
Substituindo x = cos t e y = sin t nas funções P e Q:
P(x, y) = -yx^2 + y^2 = -sin tcos^2 t + sin^2 t = -sin t
Q(x, y) = xx^2 + y^2 = cos tcos^2 t + sin^2 t = cos t
Agora, substituímos tudo na integral:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral0^2pi (-sin t)(- sin t) + (cos t)(cos t) , dt = integral0^2pi sin^2 t + cos^2 t , dt
Sabemos que sin^2 t + cos^2 t = 1, então:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi

Passo 3

Parte b) Agora, vamos calcular a integral dupla integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy, onde D é a região interna delimitada por gamma.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais:
Para partial Qpartial x:
Q(x, y) = xx^2 + y^2
Usamos a regra do quociente:
partial Qpartial x = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Para partial Ppartial y:
P(x, y) = -yx^2 + y^2
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
partial Ppartial y = (-1)(x^2 + y^2) - (-y)(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
Agora, calculamos partial Qpartial x - partial Ppartial y:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 = 0
Portanto, a integral dupla é:
integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Passo 4

Parte c) Agora, vamos verificar se a igualdade é válida.
Calculamos na parte a) que e na parte b) que . Claramente, , então a igualdade não se mantém.
Isso acontece porque as funções e têm uma singularidade no ponto , que está dentro da região . O Teorema de Green requer que e sejam continuamente diferenciáveis na região e em sua fronteira. Como há uma descontinuidade em , o Teorema de Green não se aplica diretamente, e por isso a igualdade não é válida neste caso.

Resposta

a) ointgamma P , dx + Q , dy = 2pi
b) integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy = 0
c) A igualdade ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy não vale.

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