Esboce a região, o sólido e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x+y=1, x=0, y=0 em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do primeiro quadrante limitada por
,x+y=1, ,x=0 e ,y=0. Vamos usar o método dos discos (ou fatias perpendiculares ao eixo de rotação).

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região no plano xy. É um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), pois a reta ,x+y=1 intercepta os eixos em x=1 e y=1.

Passo 3

Ao girar essa região em torno do eixo x, cada seção transversal perpendicular ao x é um círculo de raio igual à distância da reta ao eixo x, ou seja,
raio = y = 1 - x,
para 0 <= x <= 1.

Passo 4

Pelo método dos discos, o volume é
V = integralx=0^1 pil(raior)^2,dx = pi integral0^1 (1 - x)^2,dx

Passo 5

Calculemos a integral:
integral0^1(1 - x)^2,dx = integral0^1 (1 - 2x + x^2),dx = l[x - x^2 + tfracx^33r]0^1 = 1 - 1 + tfrac13 = tfrac13
Logo,
V = pi cdot tfrac13 = tfracpi3

Resposta

pi3

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