Utilizando o teorema de Rouché - Capelli, classificar e resolver (nos casos possíveis) os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{c}-x-y-z=2 \\\\ 3 x-3 y+2 z=1 \\\\ 2 x-4 y+z=-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} -x - y - z = 2,\\\\ 3x - 3y + 2z = 1,\\\\ 2x - 4y + z = -3, \end{cases}
e pede para classificá-lo e, se possível, resolver usando o teorema de Rouché–Capelli. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes A, a matriz ampliada (A\mid b), calcular seus postos (ranks) e compará-los.

Passo 2

Primeiro, a matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1\\\\ 3 & -3 & 2\\\\ 2 & -4 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A para ver se o posto pode ser 3:
\det(A) = -1\begin{vmatrix}-3 & 2\\\ -4 & 1\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}3 & 2\\\ 2 & 1\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}3 & -3\\\ 2 & -4\end{vmatrix}.
Cada menor vale
\begin{vmatrix}-3 & 2\\\ -4 & 1\end{vmatrix} =(-3)\cdot1-2\cdot(-4)=5, \quad \begin{vmatrix}3 & 2\\\ 2 & 1\end{vmatrix} =3\cdot1-2\cdot2=-1,
\begin{vmatrix}3 & -3\\\ 2 & -4\end{vmatrix} =3\cdot(-4)-(-3)\cdot2=-6.
Logo
\det(A) =-1\cdot5 -(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-6) =-5 -1 +6=0.
Como \det(A)=0, o posto de A é menor que 3.

Passo 3

Para ver se o posto de A é pelo menos 2, bastar achar algum menor de ordem 2 não nulo. Por exemplo, tomando as duas primeiras colunas e as duas primeiras linhas:
\begin{vmatrix} -1 & -1\\\\ 3 & -3 \end{vmatrix} =(-1)\cdot(-3)-(-1)\cdot3=6\neq0.
Isso mostra que \mathrm{rank}(A)=2.

Passo 4

Agora montamos a matriz ampliada
(A\mid b) =\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 & 2\\\\ 3 & -3 & 2 & 1\\\\ 2 & -4 & 1 & -3 \end{pmatrix}
e verificamos se seu posto é maior que 2. Basta calcular um menor de ordem 3 que envolva a coluna dos termos independentes. Por exemplo, usando colunas 1, 2 e 4:
\begin{vmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ 3 & -3 & 1\\\\ 2 & -4 & -3 \end{vmatrix} =-36\neq0.
Portanto \mathrm{rank}(A\mid b)=3.

Passo 5

Como \mathrm{rank}(A)=2 e \mathrm{rank}(A\mid b)=3, o teorema de Rouché–Capelli diz que o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível e não tem solução.

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