Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função. Mostre que: se |f(x)| \leq x \ln (x+1) para todo x \in(0, \infty) então f é derivável à direita de x=0 e que f_{+}^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá uma função f:(0,\infty)\to\mathbb{R} tal que, para todo x>0,
|f(x)| \le x\ln(x+1).
Queremos mostrar que f admite derivada à direita em x=0 e que
f_{+}'(0)=0.
Para isso, precisamos primeiro ver o comportamento de f(x) quando x\to0^+, e em seguida calcular o quociente de diferença \bigl(f(x)-f(0)\bigr)/x.
Passo 2
Mostramos que \lim_{x\to0^+}f(x)=0. De fato, como para todo x>0 vale