Seja f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} uma função. Mostre que: se |f(x)| \leq x \ln (x+1) para todo x \in(0, \infty) então f é derivável à direita de x=0 e que f_{+}^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:(0,\infty)\to\mathbb{R} tal que, para todo x>0,
|f(x)| \le x\ln(x+1).
Queremos mostrar que f admite derivada à direita em x=0 e que
f_{+}'(0)=0.
Para isso, precisamos primeiro ver o comportamento de f(x) quando x\to0^+, e em seguida calcular o quociente de diferença \bigl(f(x)-f(0)\bigr)/x.

Passo 2

Mostramos que \lim_{x\to0^+}f(x)=0. De fato, como para todo x>0 vale
|f(x)| \le x\ln(x+1),
basta observar que
\lim_{x\to0^+}x\ln(x+1) = \lim_{x\to0^+}x\bigl(\ln(1+x)\bigr) =0,
porque \ln(1+x)\to0 e x\to0. Portanto, pelo confronto,
\lim_{x\to0^+}f(x)=0.

Passo 3

Para falar em derivada à direita em 0, estendemos f definindo f(0)=0. Então o quociente de diferença à direita fica
\frac{f(x)-f(0)}{x} =\frac{f(x)}{x}.
Usando o mesmo limite de comparação, temos
\left|\frac{f(x)}{x}\right| \le \frac{x\ln(x+1)}{x} =\ln(x+1),
e sabemos que
\lim_{x\to0^+}\ln(x+1)=0.
Portanto o quociente de diferença tende a zero quando x\to0^+.

Passo 4

Concluímos que o limite
\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}
existe e é igual a 0. Isso significa que f é derivável à direita em 0 e
f_{+}'(0)=0.

Resposta

f é derivável à direita em x=0 e f_{+}'(0)=0.

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