Seja I \subseteq \mathbb{R} um intervalo e f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável em I. Se \alpha \in I e f^{\prime}(\alpha)>0 mostre que existe um \delta>0 tal que f(x)>f(\alpha) para todo x \in I \operatorname{com} \alpha<x<\alpha+\delta.
Passo 1
O enunciado diz que f\colon I\to\R é derivável em um intervalo I\subseteq\R, que \alpha\in I e que
f'(\alpha)>0.
Queremos mostrar que existe \delta>0 tal que
\text{se }x\in I\text{ e }\alpha < x < \alpha+\delta,\text{ então }f(x)>f(\alpha).
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada como limite do quociente de diferença e o critério \varepsilon-\delta.