Utilizando o Teorema do Valor Médio, mostre que para todo
e para todo
então
. (Desigualdade de Bernoulli)
Passo 1
O enunciado pede para provar a desigualdade de Bernoulli
para todo
e todo
, usando o Teorema do Valor Médio (TVM). Vamos definir uma função apropriada e aplicar o TVM.
Passo 2
Defina a função
cujo domínio é
. Essa função é contínua em
e derivável em
para qualquer
. Em particular, é derivável no intervalo fechado que vai de
até
, quer
quer
.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio, existe algum
entre
e
(mais precisamente
) tal que
Passo 4
Calculemos
e
:
Logo
Passo 5
Observe que, como
, a função
é estritamente crescente em
.
- Se
, então e portanto . Assim
- Se
, então e assim . Como , ao multiplicar uma desigualdade pela quantidade negativa invertemos o sinal, mas aqui temos
porque
e
troca o sentido duas vezes (uma pela desigualdade de
e outra por
), resultando em
.
Passo 6
Em ambos os casos concluímos