Utilizando os teoremas simplifique a expressão:
\mathrm{F}=\bar{X} . Z+(X \oplus W)+X . \bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X} . Y . \bar{W} . Z
(b) X+Y=Y+X

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão booleana
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z+(X \oplus W)+X\cdot\bar{Y}+(W \odot Z)+\bar{X}\cdot Y\cdot\bar{W}\cdot Z.
Dados relevantes (extraídos do enunciado):
  • A operação \oplus é XOR: X\oplus W = X\bar{W}+\bar{X}W.
  • Os símbolos \cdot e \odot representam AND (multiplicação lógica).
  • O traço \bar{\\ } indica negação (NOT).
    As perguntas implícitas:
  • (a) Simplificar algebraicamente \mathrm{F} usando teoremas de álgebra booleana.
  • (b) Verificar / justificar a igualdade \;X+Y=Y+X (propriedade pedida).

Passo 2

Primeiro passo técnico: expandir o XOR e reescrever a expressão com somas e produtos padrão.
Usando \;X\oplus W = X\bar{W} + \bar{X}W\;, temos
\mathrm{F}=\bar{X}\cdot Z + \bigl(X\bar{W} + \bar{X}W\bigr) + X\bar{Y} + WZ + \bar{X}Y\bar{W}Z.
Agora a expressão está em forma soma de produtos, pronta para aplicar teoremas (distributiva, absorção, consenso, etc.).

Passo 3

Aplicar a lei da absorção para eliminar termos redundantes simples.
Observe o termo \bar{X}Y\bar{W}Z. Ele é um produto que contém \bar{X}Z como fator comum (pois \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z \cdot (Y\bar{W})). Pela absorção A + A\cdot B = A, tem-se
\bar{X}Z + \bar{X}Y\bar{W}Z = \bar{X}Z.
Portanto o último termo é absorvido e pode ser descartado. Assim
\mathrm{F}=\bar{X}Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + WZ.

Passo 4

Agrupar termos para enxergar estruturas úteis:
\mathrm{F}=\bar{X}Z + WZ + \bar{X}W + X\bar{W} + X\bar{Y}.
Factorizando parcialmente:
\mathrm{F}=Z(\bar{X}+W) + \bar{X}W + X\bar{W} + X\bar{Y}.
Agora vamos mostrar uma manipulação importante que simplifica Z(\bar{X}+W) + \text{outros} para apenas Z mais os demais termos.

Passo 5

Motivação e aplicação de uma identidade útil: queremos obter um termo XZ porque então
Z(\bar{X}+W) + XZ = Z(\bar{X}+W+X) = Z.
Logo se conseguirmos justificar que adicionar XZ não altera a expressão (isto é, XZ já está “coberto” pelos termos existentes), então podemos substituir Z(\bar{X}+W) por Z.
Mostramos que XZ está coberto pelos termos já presentes:
XZ = XZ\bar{W} + XZW.
Mas XZ\bar{W} \le X\bar{W} (porque XZ\bar{W} é produto que está contido em X\bar{W}) e XZW \le WZ (porque XZW está contido em WZ). Assim
XZ = XZ\bar{W} + XZW \le X\bar{W} + WZ.
Em álgebra booleana isso significa que XZ é absorvido por X\bar{W}+WZ; portanto somar XZ à expressão que já contém X\bar{W}+WZ não altera o valor booleano. Em símbolos: se A\le B então B = B + A.
Como podemos acrescentar XZ sem alterar \mathrm{F}, procedemos:
\mathrm{F} = Z(\bar{X}+W) + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + \underbrace{WZ}_{\text{já}} = Z(\bar{X}+W) + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y} + XZ.á
Agora agrupe Z(\bar{X}+W) + XZ = Z(\bar{X}+W+X) = Z. Logo obtemos

Passo 6

Conclusão da simplificação:
\mathrm{F} = Z + X\bar{W} + \bar{X}W + X\bar{Y}.
Podemos identificar X\bar{W} + \bar{X}W como X\oplus W, então outra forma equivalente e mais compacta é
\boxed{\mathrm{F} = Z + (X\oplus W) + X\bar{Y}.}
Também é válido escrever, factorizando o que tem X:
\mathrm{F} = Z + \bar{X}W + X(\bar{W}+\bar{Y}).

Passo 7

Parte (b): justificar a igualdade \;X+Y=Y+X.
Esta igualdade é simplesmente a propriedade comutativa da disjunção (OR) na álgebra booleana: a operação + é comutativa, logo para quaisquer variáveis booleanas X e Y vale
\boxed{X+Y = Y+X.}
Se quiser uma “prova” elementar, pode-se verificar por tabela-verdade (os dois lados têm os mesmos valores para todas as combinações de X,Y) ou aceitar como axioma/teorema básico da álgebra booleana (da mesma forma que a soma em aritmética é comutativa).

Resposta

\mathrm{F} = Z + (X\oplus W) + X\bar{Y}
\;X+Y=Y+X

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