Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
Estamos analisando a série
, usando o teste da comparação (ou comparação no limite) para decidir convergência ou divergência. Para aplicar o teste da comparação, precisamos saber uma expressão fechada ou comportamento assintótico da soma dos quadrados
. Há uma fórmula conhecida para essa soma.
Passo 2
A soma dos primeiros
quadrados é dada por
Para grandes
, esse valor cresce como
mais termos de ordem inferior. Escolhemos a série de comparação
, cuja soma
é convergente (p-série com
).
Passo 3
Vamos calcular o limite
Passo 4
Simplificando o limite usando
, temos
que é um número finito e estritamente positivo. Como o limite é
e
converge, pelo teste da comparação no limite concluímos que
também converge.
Resposta
A série converge.