Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 11^2+2^2+3^2+cdots+n^2

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty11^2+2^2+cdots+n^2, usando o teste da comparação (ou comparação no limite) para decidir convergência ou divergência. Para aplicar o teste da comparação, precisamos saber uma expressão fechada ou comportamento assintótico da soma dos quadrados 1^2+2^2+cdots+n^2. Há uma fórmula conhecida para essa soma.

Passo 2

A soma dos primeiros n quadrados é dada por
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6
Para grandes n, esse valor cresce como 2n^36=n^33 mais termos de ordem inferior. Escolhemos a série de comparação bn=1n^3, cuja soma sum bn é convergente (p-série com p=3>1).

Passo 3

Vamos calcular o limite
limntoinftyanbn=limntoinfty11^2+2^2+cdots+n^21/n^3 =limntoinftyn^3n(n+1)(2n+1)6

Passo 4

Simplificando o limite usando n(n+1)(2n+1)=2n^3+3n^2+n, temos
limntoinfty6n^32n^3+3n^2+n=62=3,
que é um número finito e estritamente positivo. Como o limite é 3>0 e sum bn converge, pelo teste da comparação no limite concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série converge.

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