Calcule integralC F cdot d r, onde C é parametrizada por r.
F(x, y, z)=lang<= z, y,-xrang<=, r(t)=lang<= t, sen t, cos trang<=, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral de linha integralC vec F cdot dvec r de um campo vetorial vec F(x,y,z)=lang<= z,y,-xrang<= sobre a curva parametricamente dada por vec r(t)=lang<= t,sin t,cos trang<=, com 0<= t<=pi. Esse tipo de problema usa a definição de integral de linha, que envolve parametrizar a curva, calcular dvec r e fazer o produto escalar com vec F.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter dvec r. Isso é essencial para passar do integral sobre a curva para um integral em t.
vec r'(t)=lang<= 1,cos t,-sin trang<=

Passo 3

Substituímos vec r(t) em vec F para achar vec F(vec r(t)):
vec F(vec r(t))=lang<= z,y,-xrang<=(t,sin t,cos t)=lang<= cos t,sin t,-trang<=

Passo 4

Fazemos o produto escalar vec F(vec r(t))cdotvec r'(t) para montar o integrando:
vec F(vec r(t))cdotvec r'(t)=cos t+sin tcos t+tsin t

Passo 5

Agora montamos a integral de linha e resolvemos:
integralCvec Fcdot dvec r=integral0^pil(cos t+sin tcos t+tsin tr),dt
Dividimos em três partes:
  • integral0^picos t,dt=sin t|0^pi=0
  • integral0^pisin tcos t,dt=tfrac12integral0^pisin2t,dt=0
  • integral0^pi tsin t,dt por partes: com u=t, dv=sin t,dt vem
integral0^pi tsin t,dt=l[-tcos t+sin tr]0^pi=pi
Somando tudo dá 0+0+pi=pi.

Resposta

pi

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