Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
.
Passo 1
Temos a função f(x,y)=e^{2x - x^2 - y^2}. O conteúdo é o Teste da Hessiana: vamos precisar das derivadas parciais de primeira e segunda ordem para achar e classificar os pontos críticos.
Passo 2
Calculamos as derivadas de primeira ordem. Como f é produto de uma exponencial, usam-se a regra da cadeia e do produto:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos igualamos
. Como
nunca zera, basta
Logo, o único ponto crítico é (1,0).
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para montar a matriz Hessiana. Aplicando a regra da cadeia de novo, obtemos
Passo 5
Avaliamos a Hessiana em (1,0):
Calculamos o determinante
Como D>0 e f_{xx}(1,0)<0, pelo Teste da Hessiana (D>0 e f_{xx}<0) concluímos que (1,0) é um máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é (1,0), que é um máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.