Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=e^2 x-x^2-y^2.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^{2x - x^2 - y^2}. O conteúdo é o Teste da Hessiana: vamos precisar das derivadas parciais de primeira e segunda ordem para achar e classificar os pontos críticos.

Passo 2

Calculamos as derivadas de primeira ordem. Como f é produto de uma exponencial, usam-se a regra da cadeia e do produto:
partial fpartial x=e^2x - x^2 - y^2(2-2x), partial fpartial y=e^2x - x^2 - y^2(-2y)

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos igualamos nabla f=(0,0). Como e^2x - x^2 - y^2 nunca zera, basta
2-2x=0implies x=1, -2y=0implies y=0
Logo, o único ponto crítico é (1,0).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem para montar a matriz Hessiana. Aplicando a regra da cadeia de novo, obtemos
partial^2 fpartial x^2=e^2x - x^2 - y^2l((2-2x)^2-2r), partial^2 fpartial y^2=e^2x - x^2 - y^2(4y^2-2),
partial^2 fpartial xpartial y=-2y(2-2x)e^2x - x^2 - y^2

Passo 5

Avaliamos a Hessiana em (1,0):
fxx(1,0)=-2e, fyy(1,0)=-2e, fxy(1,0)=0
Calculamos o determinante
D=fxxfyy-fxy^2=(-2e)(-2e)-0=4e^2>0
Como D>0 e f_{xx}(1,0)<0, pelo Teste da Hessiana (D>0 e f_{xx}<0) concluímos que (1,0) é um máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,0), que é um máximo local. Não há mínimos locais nem pontos de sela.

Exercícios relacionados