Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=e^x cos y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Hessiana para encontrar todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função $ f(x, y) = e^{x} \cos y $. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e depois analisar a matriz hessiana pra determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função são iguais a zero.
Calculamos as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
fx = e^x cos y = 0
fy = -e^x sin y = 0

Passo 4

Observamos que $ e^{x} $ nunca é zero para nenhum valor real de $ x $ (já que exponenciais são sempre positivas). Então, para as equações serem verdadeiras, as partes restantes precisam ser zero:
e^x
x

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  • $ \cos y = 0 $ ocorre quando $ y = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro.
  • $ \sin y = 0 $ ocorre quando $ y = k\pi $, onde $ k $ é qualquer inteiro.

Passo 6

Notamos que não existe nenhum valor de $ y $ que satisfaça simultaneamente $ \cos y = 0 $ e $ \sin y = 0 $. Isso significa que não há pontos onde ambas as derivadas parciais são zero ao mesmo tempo.

Passo 7

Como não existem pontos críticos, não há máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela nessa função.

Resposta

A função $ f(x, y) = e^{x} \cos y $ não possui pontos de máximo local, mínimo local nem pontos de sela.

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