Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=x^2+x y^2+3 x.

Passo 1

A questão pede pra gente usar o Teste da Hessiana na função f(x,y)=x^2 + x y^2 + 3x para achar pontos de máximo local, mínimo local e sela, se existirem. Vamos precisar calcular o gradiente para achar pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificar esses pontos.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Para achar pontos críticos, precisamos de ∇f = (f_x, f_y) = (0,0). Calculando:
f_x = ∂/∂x (x^2 + x y^2 + 3x) = 2x + y^2 + 3
f_y = ∂/∂y (x^2 + x y^2 + 3x) = 2x y
Então resolvemos o sistema:
2x + y^2 + 3 = 0
2x y = 0

Passo 3

Analisar as equações do gradiente:
Da segunda equação 2x y = 0 temos x = 0 ou y = 0.
Se x = 0, a primeira vira y^2 + 3 = 0, que não tem solução real.
Se y = 0, a primeira vira 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2.
Logo há apenas um ponto crítico real: (-3/2, 0).

Passo 4

Calcular a matriz Hessiana H (derivadas de segunda ordem):
H =
[ [f_{xx}, f_{xy}],
[f_{yx}, f_{yy}] ]
f_{xx} = ∂/∂x (2x + y^2 + 3) = 2
f_{xy} = ∂/∂y (2x + y^2 + 3) = 2y
f_{yy} = ∂/∂y (2x y) = 2x
Então
H(x,y) = [ [2, 2y], [2y, 2x] ].
Agora avaliamos em (-3/2, 0):
H(-3/2,0) = [ [2, 0], [0, -3] ].

Passo 5

Aplicar o Teste da Hessiana no ponto crítico:
Determinante D = det(H(-3/2,0)) = 2·(−3) − 0·0 = −6 < 0.
Como D < 0, isso indica que (-3/2,0) é ponto de sela. Não há outros pontos críticos, logo não existem máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Concluindo, a função possui apenas um ponto de sela em (-3/2, 0) e não tem máximos nem mínimos locais.

Resposta

Ponto de sela: (-3/2, 0). Não há máximos nem mínimos locais.

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