Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=y^2-3 x^4.

Passo 1

Estamos querendo classificar os pontos críticos da função f(x,y)=y2−3x4 usando o Teste da Hessiana; o conteúdo aqui é encontrar pontos onde ∇f=0, montar a matriz Hessiana e analisar o determinante para classificar extremos.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. A derivada em relação a x é
fx = partialpartial x(y^2 - 3x^4) = -12x^3
E a derivada em relação a y é
fy = partialpartial y(y^2 - 3x^4) = 2y

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
-12x^3 = 0 implies x = 0
2y = 0 implies y = 0
Logo, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana H, cujos elementos são as segundas derivadas:
H = fxx & fxy fyx & fyy
Calculando:
fxx = partialpartial x(-12x^3) = -36x^2, fxy=0, fyy=partialpartial y(2y)=2
No ponto (0,0) isso dá f_{xx}(0,0)=0 e f_{yy}(0,0)=2, e f_{xy}=0.

Passo 5

O determinante da Hessiana em (0,0) é
D = fxxfyy - (fxy)^2 = 0 cdot 2 - 0 = 0
Como D=0, o teste da Hessiana é inconclusivo. Então examinamos a função em direções especiais: para x=0, f(0,y)=y^2≥0 mostra mínimo na direção y; para y=0, f(x,0)=−3x^4≤0 mostra máximo na direção x. Essa mudança de sinal caracteriza um ponto de sela.

Passo 6

Portanto, o único ponto crítico (0,0) é um ponto de sela, e não existem máximos ou mínimos locais.

Resposta

Ponto de sela: (0,0). Não há máximos nem mínimos locais.

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