Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
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Passo 1
Estamos querendo classificar os pontos críticos da função f(x,y)=y2−3x4 usando o Teste da Hessiana; o conteúdo aqui é encontrar pontos onde ∇f=0, montar a matriz Hessiana e analisar o determinante para classificar extremos.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f. A derivada em relação a x é
E a derivada em relação a y é
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Logo, o único ponto crítico é (0,0).
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana H, cujos elementos são as segundas derivadas:
Calculando:
No ponto (0,0) isso dá f_{xx}(0,0)=0 e f_{yy}(0,0)=2, e f_{xy}=0.
Passo 5
O determinante da Hessiana em (0,0) é
Como D=0, o teste da Hessiana é inconclusivo. Então examinamos a função em direções especiais: para x=0, f(0,y)=y^2≥0 mostra mínimo na direção y; para y=0, f(x,0)=−3x^4≤0 mostra máximo na direção x. Essa mudança de sinal caracteriza um ponto de sela.
Passo 6
Portanto, o único ponto crítico (0,0) é um ponto de sela, e não existem máximos ou mínimos locais.
Resposta
Ponto de sela: (0,0). Não há máximos nem mínimos locais.