Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=y cos (x).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = y \cos(x) $ e precisamos usar o Teste da Hessiana para encontrar todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem e analisar a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais primeiras são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
  1. $ f_x = -y \sin(x) = 0 $
  2. $ f_y = \cos(x) = 0 $
Da segunda equação, $ \cos(x) = 0 $ ocorre quando $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro.

Passo 4

Com $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, vamos substituir na primeira equação para encontrar $ y $.
x = pi2 + kpi
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = (-1)^k $, então:
y
Portanto, os pontos críticos são $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right) $.

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos, vamos usar o Teste da Hessiana para classificá-los. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -y cos(x)
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -sin(x)

Passo 6

A matriz Hessiana $ H $ é dada por:
H
Vamos calcular o determinante da Hessiana $ D $:
H = fxx & fxy fxy & fyy = -y cos(x) & -sin(x) -sin(x) & 0

Passo 7

Para classificar os pontos críticos:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local.
  • Se $ D < 0 $: ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $: teste inconclusivo.
Vamos avaliar $ D $ nos pontos críticos $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right) $:
D > 0
Como $ D = -1 < 0 $, cada ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = y \cos(x) $ são pontos de sela. Esses pontos ocorrem em $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi,\ 0\right) $, onde $ k $ é um número inteiro.

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