Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = y \cos(x) $ e precisamos usar o Teste da Hessiana para encontrar todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela dessa função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem e analisar a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais primeiras são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
- $ f_x = -y \sin(x) = 0 $
- $ f_y = \cos(x) = 0 $
Da segunda equação, $ \cos(x) = 0 $ ocorre quando $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro.
Passo 4
Com $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, vamos substituir na primeira equação para encontrar $ y $.
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = (-1)^k $, então:
Portanto, os pontos críticos são $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right) $.
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos, vamos usar o Teste da Hessiana para classificá-los. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 6
A matriz Hessiana $ H $ é dada por:
Vamos calcular o determinante da Hessiana $ D $:
Passo 7
Para classificar os pontos críticos:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: máximo local.
- Se $ D < 0 $: ponto de sela.
- Se $ D = 0 $: teste inconclusivo.
Vamos avaliar $ D $ nos pontos críticos $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right) $:
Como $ D = -1 < 0 $, cada ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Todos os pontos críticos da função $ f(x, y) = y \cos(x) $ são pontos de sela. Esses pontos ocorrem em $ \left(\frac{\pi}{2} + k\pi,\ 0\right) $, onde $ k $ é um número inteiro.