Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
f(x, y)=e^y-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Hessiana para encontrar todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função $ f(x, y) = e^{y - x^{2} - y^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como montar e analisar a matriz Hessiana.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
f
x
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
y
fx = partial fpartial x = e^y - x^2 - y^2 cdot (-2x)
Como a função exponencial $ e^{y - x^{2} - y^{2}} $ nunca é zero, podemos simplificar:
fy = partial fpartial y = e^y - x^2 - y^2 cdot (1 - 2y)
-2x cdot e^y - x^2 - y^2 = 0
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, \frac{1}{2}) $.

Passo 3

Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o Teste da Hessiana para determinar a natureza desse ponto.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( -2x cdot e^y - x^2 - y^2 ) = (-2) cdot e^y - x^2 - y^2 + (-2x) cdot (-2x) cdot e^y - x^2 - y^2 = (-2 + 4x^2) e^y - x^2 - y^2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( (1 - 2y) cdot e^y - x^2 - y^2 ) = (-2) cdot e^y - x^2 - y^2 + (1 - 2y) cdot (1 - 2y) cdot e^y - x^2 - y^2 = (-2 + (1 - 2y)^2) e^y - x^2 - y^2
fxy = fyx = partialpartial y ( -2x cdot e^y - x^2 - y^2 ) = (-2x) cdot (1 - 2y) cdot e^y - x^2 - y^2
Agora, montamos a matriz Hessiana $ H $ no ponto $ (0, \frac{1}{2}) $:
H
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \frac{1}{2} $:
(0, 12)
H = fxx & fxy fyx & fyy
x = 0
Assim, a matriz Hessiana fica:
y = 12

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da Hessiana (D):
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2 = (-2e^14) cdot (-2e^14) - 0 = 4e^12 > 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, isso nos indica que o ponto crítico $ (0, \frac{1}{2}) $ é um ponto de máximo local.

Resposta

A função $ f(x, y) = e^{y - x^{2} - y^{2}} $ possui um único ponto crítico em $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $, que é um ponto de máximo local.

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