Utilizando o Teste da Hessiana, determine todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função, caso existam:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teste da Hessiana para encontrar todos os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função $ f(x, y) = e^{y - x^{2} - y^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como montar e analisar a matriz Hessiana.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas a zero:
Como a função exponencial $ e^{y - x^{2} - y^{2}} $ nunca é zero, podemos simplificar:
Portanto, o único ponto crítico é $ (0, \frac{1}{2}) $.
Passo 3
Agora que encontramos o ponto crítico, vamos usar o Teste da Hessiana para determinar a natureza desse ponto.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, montamos a matriz Hessiana $ H $ no ponto $ (0, \frac{1}{2}) $:
Substituindo $ x = 0 $ e $ y = \frac{1}{2} $:
Assim, a matriz Hessiana fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da Hessiana (D):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, isso nos indica que o ponto crítico $ (0, \frac{1}{2}) $ é um ponto de máximo local.
Resposta
A função $ f(x, y) = e^{y - x^{2} - y^{2}} $ possui um único ponto crítico em $ \left(0, \frac{1}{2}\right) $, que é um ponto de máximo local.