1. Qual é a ligação entre a segunda derivada e a concavidade de uma curva plana? À luz do que você escreveu, analise a concavidade da curva y=x^2005.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre a segunda derivada e a concavidade de uma curva plana e, com base nisso, pede para analisar a concavidade da curva y = x^2005. O conteúdo envolvido é o uso da segunda derivada para identificar regiões de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 2

A teoria diz que, para uma função f duas vezes diferenciável:
  • Se ,f''(x)>0, a curva é côncava para cima (forma de “bacia”) naquele ponto.
  • Se ,f''(x)<0, a curva é côncava para baixo (forma de “teto”) naquele ponto.
  • Se ,f''(x)=0 e troca de sinal ocorre em torno de x, então esse x é um ponto de inflexão.

Passo 3

Vamos aplicar isso a f(x)=x^2005. Primeiro calculamos as derivadas:
f'(x)=2005,x^2004,
f''(x)=2005cdot2004,x^2003

Passo 4

Observe que 2005cdot2004>0 e x^2003 tem o mesmo sinal de x porque o expoente 2003 é ímpar. Logo:
  • Para x>0, tem-se x^2003>0, de modo que f''(x)>0: a curva é côncava para cima.
  • Para x<0, tem-se x^2003<0, de modo que f''(x)<0: a curva é côncava para baixo.
  • Em x=0, f''(0)=0 e há troca de sinal de f'', caracterizando um ponto de inflexão em (0,0).

Resposta

Para y=x^2005:
– Côncava para baixo em x<0.
– Côncava para cima em x>0.
– Ponto de inflexão em (0,0).

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