- Qual é a ligação entre a segunda derivada e a concavidade de uma curva plana? À luz do que você escreveu, analise a concavidade da curva
.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação entre a segunda derivada e a concavidade de uma curva plana e, com base nisso, pede para analisar a concavidade da curva
. O conteúdo envolvido é o uso da segunda derivada para identificar regiões de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 2
A teoria diz que, para uma função
duas vezes diferenciável:
- Se
, a curva é côncava para cima (forma de “bacia”) naquele ponto. - Se
, a curva é côncava para baixo (forma de “teto”) naquele ponto. - Se
e troca de sinal ocorre em torno de , então esse é um ponto de inflexão.
Passo 3
Vamos aplicar isso a
. Primeiro calculamos as derivadas:
Passo 4
Observe que
e
tem o mesmo sinal de
porque o expoente
é ímpar. Logo:
- Para
, tem-se , de modo que : a curva é côncava para cima. - Para
, tem-se , de modo que : a curva é côncava para baixo. - Em
, e há troca de sinal de , caracterizando um ponto de inflexão em .
Resposta
Para
:
– Côncava para baixo em .
– Côncava para cima em .
– Ponto de inflexão em .
– Côncava para baixo em
– Côncava para cima em
– Ponto de inflexão em