Utilizando o Teste da Razão, determine a convergência da série abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1) \cdot 4^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10^{n}}{(n+1)\,4^{2n+1}}
e pede para aplicar o Teste da Razão. Vamos definir
a_{n} = \frac{10^{n}}{(n+1)\,4^{2n+1}}
e calcular
L = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
Pelo Teste da Razão, se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Escrevendo a_{n+1} em função de n:
a_{n+1} = \frac{10^{\,n+1}}{(n+2)\,4^{2(n+1)+1}} =\frac{10\cdot10^{n}}{(n+2)\,4^{2n+3}}.
Então a razão entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{10\cdot10^{n}}{(n+2)\,4^{2n+3}} \;\Big/\; \frac{10^{n}}{(n+1)\,4^{2n+1}} = 10 \cdot \frac{n+1}{n+2} \cdot \frac{4^{2n+1}}{4^{2n+3}}.

Passo 3

Como 4^{2n+3}=4^{2n+1}\cdot 4^2=16\cdot4^{2n+1}, temos
\frac{4^{2n+1}}{4^{2n+3}}=\frac{1}{16},
portanto
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =10\cdot\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{1}{16} =\frac{5}{8}\,\frac{n+1}{n+2}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{5}{8}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2} =\frac{5}{8}\times1 =\frac{5}{8}<1.

Passo 4

Como L=\tfrac{5}{8}<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados