Utilizando o Teste da Série Alternada, determine se a série abaixo é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(3 n+2)}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{3n+2}{5n+1}
é convergente ou divergente usando o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Para aplicar esse teste precisamos checar duas condições sobre os termos positivos
a_n = \frac{3n+2}{5n+1}:
  1. \{a_n\} deve ser decrescente a partir de algum n.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral positivo:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{5n+1} =\frac{3}{5}\neq 0.
Quando n é grande, os termos \tfrac{3n+2}{5n+1} aproximam-se de \tfrac{3}{5}, não de zero.

Passo 3

Como qualquer série (alternada ou não) só pode convergir se o termo geral tender a zero e aqui
\lim_{n\to\infty}(-1)^n\frac{3n+2}{5n+1}\neq 0,
logo a série dá em divergência.

Resposta

A série diverge.

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