Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago é assumir que a sua superfície seja limitada pela elipse
e que a profundidade em cada ponto
da superfície seja dada pela função
, em que
é a profundidade máxima. Uma vez estimado o volume, a profundidade média é a razão entre o volume e a área da superfície do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
b) Use uma mudança de variáveis para transformar a integral do item anterior em uma integral sobre um disco de raio um.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
d) Calcule a área da superfície do lago.
e) Verifique que a altura média do lago é independente das constantes
e
.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
b) Use uma mudança de variáveis para transformar a integral do item anterior em uma integral sobre um disco de raio um.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
d) Calcule a área da superfície do lago.
e) Verifique que a altura média do lago é independente das constantes
Passo 1
O enunciado modela a superfície do lago pela região
e a profundidade em cada ponto por
.
Vamos usar duplas integrais, mudança de variáveis e coordenadas polares para resolver.
e a profundidade em cada ponto por
Vamos usar duplas integrais, mudança de variáveis e coordenadas polares para resolver.
Passo 2
(a) O volume do lago é dado por
Passo 3
(b) Fazendo a mudança de variáveis
, temos
e a região torna-se o disco
. Assim
Passo 4
(c) Em coordenadas polares
com
,
,
. Logo
Integramos por partes com
,
, obtendo
Então
Passo 5
(d) A área da superfície projetada é simplesmente a área da elipse,
Passo 6
(e) A profundidade média é
que não depende de
nem de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) independente de
.
(b)
(c)
(d)
(e)