Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago é assumir que a sua superfície seja limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1 e que a profundidade em cada ponto (x, y) da superfície seja dada pela função p(x, y)=H cos (pi2 raizx^2a^2+y^2b^2), em que H é a profundidade máxima. Uma vez estimado o volume, a profundidade média é a razão entre o volume e a área da superfície do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma integral dupla.
b) Use uma mudança de variáveis para transformar a integral do item anterior em uma integral sobre um disco de raio um.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
d) Calcule a área da superfície do lago.
e) Verifique que a altura média do lago é independente das constantes a e b.

Passo 1

O enunciado modela a superfície do lago pela região
R=(x,y)mid tfracx^2a^2+tfracy^2b^2<=1
e a profundidade em cada ponto por
p(x,y)=Hcosl(tfracpi2raiztfracx^2a^2+tfracy^2b^2r).
Vamos usar duplas integrais, mudança de variáveis e coordenadas polares para resolver.

Passo 2

(a) O volume do lago é dado por
V=integral duplaRp(x,y),dA =integral duplaRHcosl(tfracpi2raiztfracx^2a^2+tfracy^2b^2r),dx,dy

Passo 3

(b) Fazendo a mudança de variáveis
x=au,;y=bv, temos dA=ab,du,dv e a região torna-se o disco D:;u^2+v^2<=1. Assim
V =ab,Hintegral duplaDcos!l(tfracpi2raizu^2+v^2r),du,dv

Passo 4

(c) Em coordenadas polares (u,v)=(rcostheta,rsintheta) com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi, du,dv=r,dr,dtheta. Logo
V =ab,Hintegral0^2pi!!integral0^1cosl(tfracpi2,rr),r,dr,dtheta =2pi,ab,Hintegral0^1rcosl(tfracpi2,rr),dr
Integramos por partes com u=r, dv=cos(tfracpi2r),dr, obtendo
integral0^1rcosl(tfracpi2rr),dr =2pi-4pi^2
Então
V =2pi,ab,Hl(2pi-4pi^2r) =ab,Hl(4-8pir)

Passo 5

(d) A área da superfície projetada é simplesmente a área da elipse,
A=pi,a,b

Passo 6

(e) A profundidade média é
bar p=VA =ab,Hl(4-8pir)pi,a,b =4Hpil(1-2pir),
que não depende de a nem de b.

Resposta

(a) V=integral duplaRHcos!l(tfracpi2raiztfracx^2a^2+tfracy^2b^2r),dx,dy
(b) V=ab,Hintegral duplau^2+v^2<=1cos!l(tfracpi2raizu^2+v^2r),du,dv
(c) V=ab,Hl(4-tfrac8pir)
(d) A=pi,a,b
(e) bar p=4Hpil(1-2pir), independente de a,b.

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