Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
sumk=1^infty 12^k-1

Passo 1

Temos a série sumk=1^infty 12^k-1. O conteúdo aqui é análise de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da comparação (ou limite de comparação) com a série geométrica de razão 1/2.

Passo 2

Definimos ak = 12^k - 1 e escolhemos bk = 12^k, pois conhecemos que a série sum bk = sum 1/2^k é geométrica e converge (razão <1).

Passo 3

Aplicamos o teste de limite de comparação: calculamos
L = limktoinfty akbk = limktoinfty 1/(2^k - 1)1/2^k = limktoinfty 2^k2^k - 1 = 1
Como 0 < L < infty, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Já que sum bk = sum 1/2^k é convergente, pelo teste de comparação pelo limite concluímos que sum ak = sum 1/(2^k - 1) também converge.

Resposta

A série converge.

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