Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar testes de convergência para analisar se a série
converge ou diverge. Basicamente, vamos verificar se a soma infinita desses termos dá um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que:
Podemos decompô-la em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a diferença de duas outras frações mais simples. Vamos encontrar números A e B tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de n que facilitem.
Se
:
Se
:
Então, temos:
Passo 3
Agora que a fração está decomposta, vamos substituir de volta na série:
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos internos se cancelam quando somamos um monte deles. Vamos ver isso melhorizando algumas parcelas:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observe que o
cancela com o
, o
com o
, e assim por diante. Assim, praticamente todos os termos internos se anulam.
Passo 4
Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os primeiros e os últimos termos da série parcial. No caso de uma série infinita, o último termo tende a zero. Portanto, a soma da série será apenas o primeiro termo que não foi cancelado:
Isso mostra que a série converge para o valor 3.
Resposta
A série
converge e a sua soma é igual a 3.