Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
sum1 3n(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar testes de convergência para analisar se a série sumn=1^infty 3n(n+1) converge ou diverge. Basicamente, vamos verificar se a soma infinita desses termos dá um valor finito ou não. Para isso, vamos precisar entender sobre séries telescópicas e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que:
3n(n+1)
Podemos decompô-la em frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa fração como a diferença de duas outras frações mais simples. Vamos encontrar números A e B tais que:
3n(n+1) = An + Bn+1
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar os denominadores:
3 = A(n+1) + Bn
Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de n que facilitem.
Se n = -1:
3 = A(0) + B(-1) Rightarrow 3 = -B Rightarrow B = -3
Se n = 0:
3 = A(1) + B(0) Rightarrow 3 = A Rightarrow A = 3
Então, temos:
3n(n+1) = 3n - 3n+1

Passo 3

Agora que a fração está decomposta, vamos substituir de volta na série:
sumn=1^infty ( 3n - 3n+1 )
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos internos se cancelam quando somamos um monte deles. Vamos ver isso melhorizando algumas parcelas:
Para n=1:
31 - 32
Para n=2:
32 - 33
Para n=3:
33 - 34
E assim por diante. Observe que o -32 cancela com o +32, o -33 com o +33, e assim por diante. Assim, praticamente todos os termos internos se anulam.

Passo 4

Após o cancelamento dos termos intermediários, restam apenas os primeiros e os últimos termos da série parcial. No caso de uma série infinita, o último termo tende a zero. Portanto, a soma da série será apenas o primeiro termo que não foi cancelado:
limn to infty ( 3 - 3n+1 ) = 3 - 0 = 3
Isso mostra que a série converge para o valor 3.

Resposta

A série sumn=1^infty 3n(n+1) converge e a sua soma é igual a 3.

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