Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
sumk=1^infty 1(k+2)(k+3)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série sumk=1^infty 1(k+2)(k+3). Isso cai no conteúdo de séries telescópicas, para o qual vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e calcular a soma parcial para identificar o comportamento quando o número de termos cresce.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos
1(k+2)(k+3) = Ak+2 + Bk+3Multiplicando em ambos os lados por (k+2)(k+3) temos 1 = A(k+3) + B(k+2). Igualando coeficientes ou substituindo valores convenientes (por exemplo, k=-2 e k=-3), obtemos
A = 1, B = -1Logo
1(k+2)(k+3) = 1k+2 - 1k+3

Passo 3

Agora definimos a soma parcial até N:
SN = sumk=1^N l(1k+2 - 1k+3r)Observando que essa soma “telescopa”, vemos que a maioria dos termos internos cancela, sobrando apenas:
SN = l(13 - 14r) + l(14 - 15r) + cdots + l(1N+2 - 1N+3r) = 13 - 1N+3

Passo 4

Por fim, analisamos o limite quando N to infty. Como 1N+3 to 0, concluímos que
limNtoinfty SN = 13Portanto a série converge (pela telescopia) e seu valor é finito.

Resposta

A série converge e seu valor é tfrac13.

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