Utilizando os testes de convergência, analise a convergência (ou divergência) das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série . O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas com fatoriais, e vamos usar o teste da razão.
Passo 2
No teste da razão, calculamos o limite , onde an = tfrac2^nn!.
Passo 3
Computando a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2^ncdot 2n!,(n+1) cdot n!2^n = 2n+1
Tomando o limite quando ntoinfty:
$$
L = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n+1} = 0.
$$
Passo 4
Como L = 0 < 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente, e portanto converge.
Resposta
A série sumn=1^infty 2^nn! converge absolutamente pelo teste da razão.