Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t >= 0).
x-3 x=t+e^t, x(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial de primeira ordem
x'(t)-3,x(t)=t+e^t, x(0)=0,
para t>=0. Vamos usar as propriedades da transformada de Laplace, em especial
Lx'(s)=sX(s)-x(0) e tabelas de transformada de t e de e^t.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace em ambos os lados, obtemos
Lx'(s)-3, Lx(s) = Lt(s)+ Le^t(s)
ou seja
l(sX(s)-x(0)r)-3X(s)=1s^2+1s-1
Como x(0)=0, isso vira
(s-3),X(s)=1s^2+1s-1

Passo 3

Isolando X(s),
X(s) =1s-3l(1s^2+1s-1r)

Passo 4

Fazemos frações parciais em cada parcela:
1(s-3)s^2 =As+Bs^2+Cs-3, 1(s-3)(s-1) =Ds-3+Es-1
Resolvendo os sistemas obtém-se
A=-tfrac19,;B=-tfrac13,;C=tfrac19, D=tfrac12,;E=-tfrac12
Logo
X(s) =-tfrac191s-tfrac131s^2 +l(tfrac19+tfrac12r)1s-3 -tfrac121s-1 =-tfrac19s-tfrac13s^2+tfrac11181s-3-tfrac121s-1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo,
x(t) =-tfrac19cdot1-tfrac13t +tfrac1118e^3t-tfrac12e^t =1118e^3t-12e^t-t3-19

Passo 6

Para verificar basta calcular
,x'(t) e substituir em ,x'(t)-3x(t), confirmando que dá t+e^t, e ver que x(0)=0.

Resposta

x(t)=1118e^3t-12e^t-t3-19

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