Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
;
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
com condições iniciais
e
, usando transformada de Laplace. Vamos aplicar as propriedades da transformada para derivadas, resolver no domínio
e depois inverter para obter
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
e
, e usando
, obtemos
Agrupando fatores,
Passo 3
Reconhecemos que
Portanto
e, invertendo a transformada,
Passo 4
Vamos verificar por substituição. Seja
Calculamos
Logo
E as condições iniciais dão
e
. Tudo confere.