Determine a transformada de Laplace da função:
f(t)=e^{\alpha t} \operatorname{sen}(\beta t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t).
Conteúdo: definição de transformada de Laplace e uso de integral conhecida. Precisamos usar
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Aplicamos a definição a f(t). Substituindo f(t)=e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t) no integral, obtemos
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t)\,dt.

Passo 3

Reescrevendo a soma nos expoentes, o integrando vira e^{-(s-\alpha)t}\operatorname{sen}(\beta t). Logo
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-\alpha)t}\operatorname{sen}(\beta t)\,dt.

Passo 4

Reconhecemos a integral conhecida
\int_{0}^{\infty}e^{-at}\operatorname{sen}(\beta t)\,dt =\frac{\beta}{a^{2}+\beta^{2}},
válida para \Re(a)>0. Aqui a=s-\alpha, portanto \Re(s-\alpha)>0.

Passo 5

Substituindo a=s-\alpha no resultado, concluímos
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t)\}(s) =\frac{\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}},
com região de convergência \Re(s)>\alpha.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\operatorname{sen}(\beta t)\}(s) =\frac{\beta}{(s-\alpha)^{2}+\beta^{2}},\quad \Re(s)>\alpha.

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