Determine a transformada de Laplace da função:
f(t)=t \operatorname{sen}(\beta t);

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t\sin(\beta t).
O conteúdo principal aqui é usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade que relaciona multiplicação por t à derivada em s.

Passo 2

Primeiro lembramos que a transformada de Laplace de
\sin(\beta t)
é
\mathcal{L}\{\sin(\beta t)\}(s) =\frac{\beta}{s^{2}+\beta^{2}}.

Passo 3

Usamos a propriedade
\mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\bigr].
Aqui g(t)=\sin(\beta t), logo
\mathcal{L}\{t\sin(\beta t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{\beta}{s^{2}+\beta^{2}}\Bigr].

Passo 4

Agora calculamos a derivada em s:
-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{\beta}{s^{2}+\beta^{2}}\Bigr] =-\beta\cdot\bigl(-1\bigr)\frac{2s}{(s^{2}+\beta^{2})^{2}} =\frac{2\beta\,s}{(s^{2}+\beta^{2})^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t\sin(\beta t)\}(s) =\frac{2\beta\,s}{(s^{2}+\beta^{2})^{2}}.

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