R2) Um móvel desloca-se sobre o eixo 0 x com aceleração proporcional à diferença entre a velocidade e a posição. Determine a posição x=x(t) do móvel, supondo \ddot{x}(0)=2, \dot{x}(0)=1 e x(0)=0.

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração é proporcional à diferença entre a velocidade e a posição, ou seja
\ddot x = \lambda\bigl(\dot x - x\bigr)
com as condições iniciais \ddot x(0)=2, \dot x(0)=1 e x(0)=0. Nosso objetivo é determinar x(t).

Passo 2

Em t=0 temos \ddot x(0)=\lambda\bigl(\dot x(0)-x(0)\bigr)=\lambda(1-0)=\lambda. Como \ddot x(0)=2, segue que \lambda=2.

Passo 3

Substituindo \lambda=2 na equação, obtemos a EDO linear homogênea de segunda ordem
\ddot x -2\dot x +2x =0.

Passo 4

A equação característica é
r^2 -2r +2 =0,
cuja solução é
r = 1 \pm i.

Passo 5

Como as raízes são 1\pm i, a solução geral é
x(t) = e^{t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Aplicando x(0)=0 A=0, logo
x(t) = B\,e^{t}\sin t.
Depois, \dot x(t)=B\,e^{t}(\sin t+\cos t) e \dot x(0)=B=1. Portanto B=1.

Passo 6

Substituindo A=0 e B=1 achamos
x(t)=e^{t}\sin t.

Resposta

x(t)=e^{t}\sin t.

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