Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções: f(t)=e^{a t} \cos (a t)
Passo 1
O enunciado dá a função f(t)=e^{a t}\cos(a t) definida para t\ge0 e pede a transformada de Laplace dessa função.
Informações dadas:
A função é f(t)=e^{a t}\cos(a t).
a é um parâmetro (considere a real).
O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é, encontrar a expressão em termos de s (e indicar a região de convergência).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e explicação das variáveis (aula rápida):
A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
onde s é uma variável complexa. Para que a integral converja, normalmente precisamos que a parte real de s seja grande o suficiente. Aqui vamos aplicar essa definição ou usar propriedades conhecidas para obter a transformada de f(t).
Passo 3
Propriedade útil (deslocamento na variável s):
Se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então, para qualquer constante b,
Condição de convergência: na aplicação do deslocamento usamos que a transformada de \cos(a t) converge para \operatorname{Re}(s)>0; ao substituir s\mapsto s-a precisamos de \operatorname{Re}(s-a)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>a.
Passo 6
Alternativa (verificação direta pela integral) — só para reforçar a intuição:
Começando da definição,