Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t)=e^{a t} \cos (a t)

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=e^{a t}\cos(a t) definida para t\ge0 e pede a transformada de Laplace dessa função.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=e^{a t}\cos(a t).
  • a é um parâmetro (considere a real).
    O que se pede: calcular \mathcal{L}\{f(t)\}(s), isto é, encontrar a expressão em termos de s (e indicar a região de convergência).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e explicação das variáveis (aula rápida):
A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Para que a integral converja, normalmente precisamos que a parte real de s seja grande o suficiente. Aqui vamos aplicar essa definição ou usar propriedades conhecidas para obter a transformada de f(t).

Passo 3

Propriedade útil (deslocamento na variável s):
Se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então, para qualquer constante b,
\mathcal{L}\{e^{b t}g(t)\}(s)=G(s-b).
Explicação rápida e intuitiva: na definição,
\mathcal{L}\{e^{b t}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{b t}g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-b)t}g(t)\,dt=G(s-b).
Ou seja, multiplicar a função por e^{b t} desloca a transformada em s por b.

Passo 4

Transformada de \cos(\omega t) (fórmula padrão e derivação breve):
É conhecido (e pode ser obtido pela definição usando exponenciais complexas) que
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
para \operatorname{Re}(s)>0. Derivação curta: escrever \cos(\omega t)=\operatorname{Re}(e^{i\omega t}) e integrar
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(\omega t)\,dt=\operatorname{Re}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt=\operatorname{Re}\left(\frac{1}{s-i\omega}\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento ao nosso caso:
Temos f(t)=e^{a t}\cos(a t). Tome g(t)=\cos(a t) com \omega=a. Então
\mathcal{L}\{\cos(a t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
e pela propriedade do Passo 3 (com b=a),
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(a t)\}(s)=\left.\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right|_{s\mapsto s-a}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+a^{2}}.
Condição de convergência: na aplicação do deslocamento usamos que a transformada de \cos(a t) converge para \operatorname{Re}(s)>0; ao substituir s\mapsto s-a precisamos de \operatorname{Re}(s-a)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 6

Alternativa (verificação direta pela integral) — só para reforçar a intuição:
Começando da definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(a t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{a t}\cos(a t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\cos(a t)\,dt.
Usando a fórmula do Passo 4 com p=s-a e \omega=a,
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\cos(a t)\,dt=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+a^{2}},
desde que \operatorname{Re}(s-a)>0. Isso confirma o resultado do Passo 5.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(a t)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+a^{2}},\qquad \text{para }\operatorname{Re}(s)>a

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