Utilizando o tratamento sistemático do equilibrio calcule as concentrações de cátion bário, ânion fluoreto e ✓ ácido fluoridrico numa soluçâo saturada de fluoreto de bário quando o pH é fixado em 6,50.
Dados: \mathrm{Kps}(\mathrm{BaF}_{2})=1,7 \times 10^{-6} ; \mathrm{Ka}(\mathrm{HF})=6,5 \times 10^{-4}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular as concentrações em solução saturada de \mathrm{BaF}_{2} com o pH fixado em 6{,}50: ou seja, encontrar [\mathrm{Ba}^{2+}], [\mathrm{F}^{-}] e [\mathrm{HF}].
Informações dadas e relevantes:
  • Produto de solubilidade: \mathrm{K_{sp}}(\mathrm{BaF}_{2}) = 1{,}7 \times 10^{-6}.
  • Constante de acidez do ácido fluorídrico: \mathrm{K_a}(\mathrm{HF}) = 6{,}5 \times 10^{-4}.
  • O pH está fixado em 6{,}50 (ou seja, [\mathrm{H}^{+}]=10^{-6{,}50}).
  • Equilíbrios envolvidos (dados pelo enunciado):
    • Dissolução sólida: \mathrm{BaF}_{2}(s) \rightleftharpoons \mathrm{Ba}^{2+} + 2\,\mathrm{F}^{-}.
    • Equilíbrio ácido-base: \mathrm{HF} \rightleftharpoons \mathrm{H}^{+} + \mathrm{F}^{-}.
Não resolvemos nada ainda; apenas identificamos os pedidos e os dados.

Passo 2

Entendendo os equilíbrios e escrevendo as expressões de equilíbrio (aqui ensino os conceitos).
  • Definição de \mathrm{K_{sp}}: para a dissolução \mathrm{BaF}_{2}\rightleftharpoons \mathrm{Ba}^{2+}+2\mathrm{F}^{-}, temos
\mathrm{K_{sp}} = [\mathrm{Ba}^{2+}]\;[\mathrm{F}^{-}]^{2}.
Aqui [\mathrm{Ba}^{2+}] e [\mathrm{F}^{-}] são as concentrações molares no equilíbrio (em mol·L^{-1}).
  • Definição de \mathrm{K_a} para o ácido \mathrm{HF}: para \mathrm{HF}\rightleftharpoons \mathrm{H}^{+}+\mathrm{F}^{-},
\mathrm{K_a} = \frac{[\mathrm{H}^{+}]\;[\mathrm{F}^{-}]}{[\mathrm{HF}]}.
Isso relaciona quanto de \mathrm{HF} se ioniza em \mathrm{H}^{+} e \mathrm{F}^{-}. Se o pH é fixo, [\mathrm{H}^{+}] é conhecido e podemos relacionar [\mathrm{F}^{-}] e [\mathrm{HF}].

Passo 3

Fazendo balanço de massa para o flúor (a ideia é: todo o flúor solubilizado vem do \mathrm{BaF}_{2}).
  • Seja s a molaridade de [\mathrm{Ba}^{2+}] que resulta da solubilidade do sólido; ao dissolver s mol·L^{-1} de \mathrm{BaF}_{2} obtemos 2s mol·L^{-1} de flúor total. Definimos:
[\mathrm{Ba}^{2+}] = s,
\text{flúor total } = 2s = [\mathrm{F}^{-}] + [\mathrm{HF}].ú
Isso é uma equação de conservação de átomos de flúor: todo flúor gerado pela dissolução está distribuído entre \mathrm{F}^{-} e \mathrm{HF}.

Passo 4

Relacionando [\mathrm{F}^{-}] e [\mathrm{HF}] pelo \mathrm{K_a} (uso da equação de equilíbrio ácido-base).
  • Da expressão da \mathrm{K_a},
[\mathrm{HF}] = \frac{[\mathrm{H}^{+}]\;[\mathrm{F}^{-}]}{\mathrm{K_a}}.
  • Substituindo na equação de balanço de massa:
2s = [\mathrm{F}^{-}] + \frac{[\mathrm{H}^{+}]\;[\mathrm{F}^{-}]}{\mathrm{K_a}} = [\mathrm{F}^{-}]\left(1 + \frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}\right).
  • Portanto isolamos [\mathrm{F}^{-}] em função de s:
[\mathrm{F}^{-}] = \frac{2s}{1 + \dfrac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}}.
Essa fórmula é muito útil: diz quanto de fluoreto livre resta quando parte foi protonada formando \mathrm{HF}.

Passo 5

Inserindo [\mathrm{F}^{-}] na expressão do \mathrm{K_{sp}} e obtendo uma equação para s.
  • Lembrando que \mathrm{K_{sp}}=[\mathrm{Ba}^{2+}][\mathrm{F}^{-}]^{2} = s\;[\mathrm{F}^{-}]^{2}, substituímos [\mathrm{F}^{-}]=\dfrac{2s}{1+[\mathrm{H}^{+}]/\mathrm{K_a}}:
\mathrm{K_{sp}} = s\left(\frac{2s}{1 + \dfrac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}}\right)^{2} = \frac{4\,s^{3}}{\left(1 + \dfrac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}\right)^{2}}.
  • Isolando s^{3}:
s^{3} = \frac{\mathrm{K_{sp}}}{4}\left(1 + \frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}\right)^{2}.
  • Então
s = \left[\frac{\mathrm{K_{sp}}}{4}\left(1 + \frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}\right)^{2}\right]^{1/3}.
Explicando: chegamos a uma expressão que dá diretamente a solubilidade s em função de constantes conhecidas e de [\mathrm{H}^{+}]. Não precisamos resolver um sistema de equações simultâneas numericamente complexo — fizemos álgebra e reduzimos a um cálculo explícito.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (aqui mostro as contas para você reproduzir na prova sem calculadora complicada).
  • Primeiro calcule [\mathrm{H}^{+}] a partir do pH:
[\mathrm{H}^{+}] = 10^{-6{,}50} \approx 3{,}162\times 10^{-7}\\ \mathrm{M}.
  • Calcule o termo \dfrac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}:
\frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}} = \frac{3{,}162\times 10^{-7}}{6{,}5\times 10^{-4}} \approx 4{,}866\times 10^{-4}.
  • Então
1 + \frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}} \approx 1{,}0004866,
\left(1 + \frac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}\right)^{2} \approx 1{,}0009733.
  • Agora use \mathrm{K_{sp}}=1{,}7\times 10^{-6} na fórmula de s^{3}:
s^{3} = \frac{1{,}7\times 10^{-6}}{4}\times 1{,}0009733 \approx 4{,}25414\times 10^{-7}.
  • Tire a raiz cúbica:
s = \left(4{,}25414\times 10^{-7}\right)^{1/3} \approx 7{,}52\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.
Portanto
[\mathrm{Ba}^{2+}] = s \approx 7{,}52\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Calculando [\mathrm{F}^{-}] e [\mathrm{HF}] a partir de s.
  • Use [\mathrm{F}^{-}] = \dfrac{2s}{1 + \dfrac{[\mathrm{H}^{+}]}{\mathrm{K_a}}}:
[\mathrm{F}^{-}] = \frac{2\times 7{,}52\times 10^{-3}}{1{,}0004866} \approx 1{,}503\times 10^{-2}\\ \mathrm{M}.
  • E [\mathrm{HF}] pode ser obtido por [\mathrm{HF}]=2s-[\mathrm{F}^{-}] ou pela expressão da \mathrm{K_a}. Usando a expressão direta da \mathrm{K_a}:
[\mathrm{HF}] = \frac{[\mathrm{H}^{+}]\;[\mathrm{F}^{-}]}{\mathrm{K_a}} = \frac{3{,}162\times 10^{-7}\times 1{,}503\times 10^{-2}}{6{,}5\times 10^{-4}} \approx 7{,}31\times 10^{-6}\\ \mathrm{M}.
  • Verificação rápida (soma das espécies de flúor):
[\mathrm{F}^{-}] + [\mathrm{HF}] \approx 1{,}503\times 10^{-2} + 7{,}31\times 10^{-6} \approx 1{,}5037\times 10^{-2} \approx 2s,
o que confere com 2s\approx 1{,}504\times10^{-2} (diferenças pequenas são de arredondamento).

Resposta

[\mathrm{Ba}^{2+}] = 7{,}52\times 10^{-3}\\ \mathrm{M}\n
[\mathrm{F}^{-}] = 1{,}50\times 10^{-2}\\ \mathrm{M}\n
[\mathrm{HF}] = 7{,}31\times 10^{-6}\\ \mathrm{M}

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