Para calcular a \left[\mathrm{Ag}^{1+}\right] numa solução saturada de Agl na presença de brometo de potássio 0,025 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} a 25^{\circ} \mathrm{C}, faça:
a) Calcule a força iônica da solução considerando que a mesma depende apenas do KBr .
b) Calcule os coeficientes de atividade dos ions prata e iodeto.
c) Por fim, calcule a \left[\mathrm{Ag}^{1+}\right].
Dado: \mathrm{Kps}(\mathrm{Agl})=8,5 \times 10^{-17}

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
a) Calcular a força iônica da solução, considerando que ela depende somente do \mathrm{KBr} presente.
b) Calcular os coeficientes de atividade dos íons prata e iodeto na solução saturada de \mathrm{AgI} (a presença de \mathrm{KBr} serve só para definir a força iônica).
c) Calcular a concentração de \mathrm{Ag}^{1+} na solução saturada de \mathrm{AgI} levando em conta os coeficientes de atividade.
Dados fornecidos e informações úteis extraídas do enunciado:
\mathrm{K_{sp}(\\ AgI)} = 8,5\times 10^{-17},
concentração de \mathrm{KBr}: \;0,025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} (ou seja, [\mathrm{K}^+]=[\mathrm{Br}^-]=0,025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}), e temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
O enunciado manda considerar que somente o \mathrm{KBr} contribui para a força iônica (logo desprezamos contribuições vindas da própria dissolução minúscula do \mathrm{AgI}).

Passo 2

Definição e cálculo da força iônica.
A força iônica \mu é dada por
\mu=\tfrac{1}{2}\sum_i c_i z_i^2,
onde c_i é a concentração molar do íon i e z_i é sua valência (carga). Aqui só temos \mathrm{K}^+ e \mathrm{Br}^- do \mathrm{KBr}, cada um com c=0,025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}} e |z|=1. Portanto,
\mu=\tfrac{1}{2}\big(0,025\cdot 1^2 + 0,025\cdot 1^2\big)=\tfrac{1}{2}\cdot 0,05=0,025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Passo 3

Escolha da equação para coeficientes de atividade e explicação.
Para calcular os coeficientes de atividade \gamma_i usamos a equação de Davies, que é simples e mais precisa que a lei limite de Debye–Hückel para forças iônicas moderadas (como \mu=0,025). A equação de Davies (para logaritmo decimal) é:
\log_{10}\gamma_i = -A z_i^2\!\left(\frac{\sqrt{\mu}}{1+\sqrt{\mu}} - 0,3\mu\right),
onde:
  • A é uma constante dependente da temperatura; a 25^\circ\mathrm{C} vale aproximadamente A=0,509 (em unidades compatíveis com \mu em \mathrm{mol\,L^{-1}}),
  • z_i é a valência do íon i,
  • \mu é a força iônica calculada.
Explicando: \log_{10}\gamma_i nos dá o logaritmo decimal do coeficiente de atividade; se \gamma_i<1 as interações iônicas “reduzem” a atividade efetiva do íon em relação à sua concentração.

Passo 4

Cálculo numérico dos coeficientes de atividade para \mathrm{Ag}^+ e \mathrm{I}^-.
Ambos têm |z|=1, logo z^2=1 e terão o mesmo \gamma. Primeiro calculamos \sqrt{\mu}:
\sqrt{\mu}=\sqrt{0,025}=0,15811388\\ (\text{aprox. }0,1581).
Agora o termo entre parênteses:
\frac{\sqrt{\mu}}{1+\sqrt{\mu}}=\frac{0,15811388}{1+0,15811388}=0,13647\\ (\text{aprox.}),
e
0,3\mu=0,3\cdot 0,025=0,0075.
Então
\frac{\sqrt{\mu}}{1+\sqrt{\mu}}-0,3\mu=0,13647-0,0075=0,12897\\ (\text{aprox.}).
Aplicando Davies com A=0,509 e z^2=1:
\log_{10}\gamma = -0,509\cdot 1 \cdot 0,12897 = -0,0656\\ (\text{aprox.}).
Logo
\gamma = 10^{-0,0656}\approx 0,860.
Portanto:
\gamma_{\mathrm{Ag}^+}\approx 0,860,\qquad \gamma_{\mathrm{I}^-}\approx 0,860.

Passo 5

Relação entre Ksp e concentrações usando atividades.
Para o equilíbrio de dissolução
\mathrm{AgI\\ (s)}\rightleftharpoons \mathrm{Ag}^+ + \mathrm{I}^-,
a constante de solubilidade em termos de atividades é
K_{sp}=a_{\mathrm{Ag}^+}\,a_{\mathrm{I}^-},
onde a_i=\gamma_i [i]. Se s for a solubilidade molar de \mathrm{AgI} (ou seja, [\mathrm{Ag}^+]=s e [\mathrm{I}^-]=s, pois nenhuma outra fonte de \mathrm{I}^- foi dada), então
K_{sp}=(\gamma_{\mathrm{Ag}^+}[ \mathrm{Ag}^+ ])(\gamma_{\mathrm{I}^-}[ \mathrm{I}^- ])=(\gamma_{\mathrm{Ag}^+}\gamma_{\mathrm{I}^-})\,s^2.
Como \gamma_{\mathrm{Ag}^+}=\gamma_{\mathrm{I}^-}=\gamma, isto simplifica para
K_{sp}=\gamma^2 s^2\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{\sqrt{K_{sp}}}{\gamma}.
Observação: aqui usamos a definição correta de Ksp em termos de atividades; por isso dividimos a raiz de K_{sp} pelo coeficiente de atividade.

Passo 6

Cálculo final de [\mathrm{Ag}^+].
Primeiro a raiz quadrada de K_{sp}:
\sqrt{K_{sp}}=\sqrt{8,5\times 10^{-17}}=\sqrt{8,5}\times 10^{-8,5}\approx 2,9155\times 3,1623\times 10^{-9}\approx 9,2206\times 10^{-9}.
Usando \gamma\approx 0,860:
s=\frac{\sqrt{K_{sp}}}{\gamma}=\frac{9,2206\times 10^{-9}}{0,860}\approx 1,073\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.
Assim
[\mathrm{Ag}^+]\approx 1,07\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

a) \mu=0,025\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}
b) \gamma_{\mathrm{Ag}^+}\approx 0,860,\\ \gamma_{\mathrm{I}^-}\approx 0,860
c) [\mathrm{Ag}^+]\approx 1,07\times 10^{-8}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}

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