Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando nexists quando a função não estiver definida.
theta 0 pi6 pi4 pi3 pi2 2 pi3 3 pi4 pi 5 pi4 3 pi2 10 pi6
sen theta
cos theta
tan theta
sec theta
cotg theta
cossec theta
  1. Qual é a diferença entre sen x^2, sen^2 x e sen(sen x) ? Expresse cada uma das três funções em forma de composição.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com vários ângulos em radianos e precisamos preencher os valores das funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, secante, cotangente e cossecante para cada um desses ângulos. Além disso, tem uma parte extra que pergunta sobre a diferença entre , e , e como expressar cada uma delas como composição de funções. Para resolver tudo isso, vamos precisar saber os valores das funções trigonométricas para ângulos especiais e entender como manipular expressões matemáticas envolvendo funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar preenchendo a tabela das funções trigonométricas para cada ângulo dado. Primeiro, vamos lembrar os valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos especiais:
  • 0: , sen 0 = 0, cos 0 = 1
  • tan 0 = 0: , pi6, sen pi6 = 12
  • cos pi6 = raiz32: , tan pi6 = 1raiz3, pi4
  • sen pi4 = raiz22: , cos pi4 = raiz22, tan pi4 = 1
  • pi3: , sen pi3 = raiz32, cos pi3 = 12 não existe (nexists)

Passo 3

Continuando, preenchemos os valores para os demais ângulos seguindo o mesmo procedimento. Quando o cosseno for zero, a tangente não estará definida, então colocamos nexists. Também lembramos que:
  • sec theta = 1cos theta
Se cotg theta = 1tan theta for zero, cossec theta = 1sen theta não existe. Se for zero, não existe, e assim por diante.

Passo 4

Vamos agora preencher a tabela com todos os valores calculados:
theta 0 pi6 pi4 pi3 pi2 2 pi3 3 pi4 pi 5 pi4 3 pi2 10 pi6
sen theta 0 12 raiz22 raiz32 1 raiz32 raiz22 0 -raiz22 -1
-raiz32 cos theta 1 raiz32 raiz22 12 0 -12 -raiz22 -1 -raiz22 0
12 tan theta 0 1raiz3 1 raiz3 nexists -raiz3 -1 0 1 nexists
-raiz3 sec theta 1 2raiz3 raiz2 2 nexists -2 -raiz2 -1 -raiz2 nexists
2 cotg theta nexists raiz3 1 1raiz3 0 -1raiz3 -1 nexists -1 0
1raiz3 cossec theta nexists 2 raiz2 2raiz3 1 -2raiz3 -raiz2 -1 -raiz2 -1

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do exercício que pergunta sobre a diferença entre , e e como expressá-las como composição de funções.
Primeiro, precisamos entender o que cada expressão representa:
  1. : Isso significa que estamos calculando o seno de sen x^2. Ou seja, elevamos sen^2 x ao quadrado primeiro e depois aplicamos a função seno.
  2. : Aqui, estamos elevando o resultado da função seno de sen(sen x) ao quadrado. Primeiro aplicamos o seno e depois elevamos ao quadrado.
  3. : Nesta expressão, aplicamos a função seno duas vezes. Primeiro calculamos e depois aplicamos o seno novamente sobre esse resultado.

Passo 6

Vamos expressar cada uma dessas funções como composição de funções:
  1. :
    • Funções envolvidas: sen x^2 e
    • Composição:
  2. :
    • Funções envolvidas: e g(x) = x^2
    • Composição:
  3. :
    • Funções envolvidas: e f(x) = sen x novamente
    • Composição:

Resposta

Pronto! Preenchemos a tabela com os valores das funções trigonométricas para cada ângulo e explicamos a diferença entre , e , além de expressá-las como composições de funções.

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