Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}+16}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de \displaystyle F(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}+16}.
O conteúdo é o uso da propriedade de translação no eixo s e o conhecimento das transformadas básicas de funções trigonométricas.

Passo 2

Recordamos a transformada de Laplace de \sin(bt):
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.

Passo 3

Pela propriedade de translação no eixo s,
\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(4t)\}(s) =\frac{4}{(s+2)^{2}+4^{2}} =\frac{4}{(s+2)^{2}+16}.
Portanto, \displaystyle \frac{1}{(s+2)^{2}+16}
difere dessa expressão apenas por um fator \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Escalando a transformada, obtemos
\frac{1}{(s+2)^{2}+16} =\frac{1}{4}\,\frac{4}{(s+2)^{2}+16} \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s+2)^{2}+16}\Big\} =\frac{1}{4}e^{-2t}\sin(4t).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}e^{-2t}\sin(4t)

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