Utilizar propriedades operacionais da transformada de Laplace (como translação no eixo s e no eixo t ) para encontrar mathcal{L}\left\{f(t)\right\} ou mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
mathcal{L}\left\{t^{2} e^{3 t}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=t^{2}e^{3t} usando propriedades operacionais, em particular a translação no eixo s. Vamos precisar de duas coisas:
  1. A fórmula básica \mathcal{L}\{t^{n}\} = \frac{n!}{s^{n+1}}.
  2. A propriedade de deslocamento no domínio de s: se \mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s - a).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a fórmula para g(t)=t^{2}. Como n=2, temos
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}\,.

Passo 3

Agora usamos a propriedade de translação no eixo s. Para obter \mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\} basta substituir s por s-3 em \mathcal{L}\{t^{2}\}:
\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\} =\frac{2}{(s-3)^{3}}\,,
válido para \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\} = \frac{2}{(s-3)^{3}}\quad(\Re(s)>3).

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