Sem utilizar a regra de LHospital calcule os seguintes limites
lim x infty raiz12 x^3-5 x+21+4 x^2+x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyraiz12x^3-5x+21+4x^2+x^3
posse tratando de limite de função envolvendo polinômios e raiz. Vamos usar manipulação algébrica de potências de x para simplificar sem recorrer a L’Hospital.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^3 do numerador e do denominador para ver o comportamento dominante. Temos:
12x^3-5x+21+4x^2+x^3 =x^3l(12-5x^2+2x^3r)x^3l(1x^3+4x+1r)

Passo 3

Como x^3 é positivo para xtoinfty, podemos simplificar e obter
raiz12x^3-5x+21+4x^2+x^3 =raiz12-tfrac5x^2+tfrac2x^3tfrac1x^3+tfrac4x+1

Passo 4

Agora, quando xtoinfty, os termos com 1/x, 1/x^2 e 1/x^3 vão a zero. Logo a fração interna tende a 12/1=12. Portanto:
limxtoinftyraiz12x^3-5x+21+4x^2+x^3=raiz12=2raiz3

Resposta

2raiz3

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