Utilize o Algoritmo de Euclides para determinar os inteiros x e y tais que \operatorname{mdc}(a, b)= a x+b y.
(a) a=56 e b=72;

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a=56 e b=72 e pede para encontrar inteiros x e y tais que
\operatorname{mdc}(a,b)=a x + b y.
Ou seja, encontrar x,y\in\mathbb{Z} que expressem o máximo divisor comum de 56 e 72 como combinação inteira dessas duas quantidades. Vou primeiro calcular \operatorname{mdc}(56,72) e depois encontrar x e y por retro-substituição (Algoritmo de Euclides estendido).

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides (divisões sucessivas) para 72 e 56. Escrevo as divisões com quocientes e restos:
72 = 56\cdot 1 + 16,
56 = 16\cdot 3 + 8,
16 = 8\cdot 2 + 0.
Explicando: em cada linha dividi o maior número pelo menor, e o resto vai diminuindo até chegar a zero. O último resto não nulo é o \operatorname{mdc}.

Passo 3

Como o último resto não nulo é 8 (na segunda linha o resto foi 8 e depois o próximo resto é zero), concluímos que
\operatorname{mdc}(56,72)=8.

Passo 4

Agora a parte pedagógica sobre como obter x e y: tomar as equações das divisões (as que fornecem os restos) e rearranjá-las para escrever cada resto como combinação linear dos números 56 e 72; em seguida fazer substituições para expressar o último resto não nulo ( 8) como combinação linear de 56 e 72. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 5

Da primeira divisão temos o resto 16; isolo-o:
16 = 72 - 56\cdot 1.
Da segunda divisão temos o resto 8; isolo-o:
8 = 56 - 16\cdot 3.
Agora substituo a expressão de 16 (obtida acima) na expressão de 8:
8 = 56 - 3\cdot(16)
8 = 56 - 3\cdot\bigl(72 - 56\cdot 1\bigr).
Desenvolvendo e recolhendo termos:
8 = 56 - 3\cdot 72 + 3\cdot 56
8 = (1+3)\cdot 56 - 3\cdot 72
8 = 4\cdot 56 - 3\cdot 72.

Passo 6

Interpretando a última linha: 8 foi escrito como combinação linear de 56 e 72. Isso significa que
\operatorname{mdc}(56,72)=8 = 56\cdot 4 + 72\cdot(-3).
Para conferir rapidamente: 56\cdot 4 + 72\cdot(-3) = 224 - 216 = 8, OK. Assim encontramos os inteiros procurados.

Resposta

x=4,\\ y=-3

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