Utilize apenas a definição por limite f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h para determinar a equação inclinação da reta tangente y-y0=m^prime cdot(x-x0) ao gráfico de f no ponto dado. f(x)=x^3+x^2 ; ponto (1,2)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto dado. A função que estamos trabalhando é f^prime(x) = lim h 0 f(x+h)-f(x)h e o ponto de interesse é . Para isso, vamos usar a definição de derivada por limite:
Essa derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente no ponto especificado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f(x+h) = (x+h)^3 + (x+h)^2 usando a definição por limite. Substituímos na expressão da derivada:

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 e (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :

Passo 4

Substituímos essas expansões na expressão da derivada:
f^prime(x) = lim h 0 (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) + (x^2 + 2xh + h^2) - (x^3 + x^2)h

Passo 5

Simplificamos os termos dentro do limite:
f^prime(x) = lim h 0 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2xh + h^2h

Passo 6

Fatoramos f^prime(x) = lim h 0 h(3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h)h no numerador:
f^prime(x) = lim h 0 (3x^2 + 3xh + h^2 + 2x + h)
Cancelamos :

Passo 7

Agora, substituímos f^prime(x) = 3x^2 + 0 + 0 + 2x + 0 = 3x^2 + 2x por 0:

Passo 8

Com a derivada encontrada, podemos calcular a inclinação m' = f^prime(1) = 3(1)^2 + 2(1) = 3 + 2 = 5 da reta tangente no ponto :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de y - 2 = 5(x - 1) no ponto é:

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