Utilize os axiomas de Peano para mostrar que se
é um número natural e
, então existe
tal que
, ou seja, que todo natural não nulo é sucessor de algum natural.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que vamos usar para resolver. A gente vai utilizar os Axiomas de Peano, que são a base para os números naturais, para mostrar que se a é um número natural diferente de zero, então existe um número natural b tal que a = b⁺. Basicamente, queremos provar que todo número natural que não é zero tem um antecessor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os Axiomas de Peano. Eles são:
- 0 é um número natural.
- Cada número natural a tem um sucessor, que também é um número natural. Chamamos o sucessor de a de a⁺.
- 0 não é o sucessor de nenhum número natural.
- Números diferentes têm sucessores diferentes. Se a ≠ b, então a⁺ ≠ b⁺.
- Se um conjunto contém 0 e também contém o sucessor de todo número que está nele, então esse conjunto contém todos os números naturais. (Princípio da indução)
Passo 3
Agora, queremos mostrar que se a é um número natural e a ≠ 0, então a = b⁺ para algum b natural. Ou seja, a é o sucessor de algum número natural b.
Passo 4
Pelo Axioma 3, sabemos que 0 não é o sucessor de nenhum número natural. Isso significa que 0 é o único número que não pode ser escrito como um sucessor. Portanto, qualquer número natural que não seja 0 deve ser o sucessor de algum outro número natural.
Passo 5
Então, suponha que a seja um número natural e a ≠ 0. Pelo Axioma 2, sabemos que a tem um antecessor, ou seja, existe algum número natural b tal que a = b⁺.
Passo 6
Portanto, mostramos que todo número natural diferente de zero é o sucessor de algum número natural, ou seja, existe um b em ℕ tal que a = b⁺.
Resposta
Se a é um número natural e a ≠ 0, então existe um número natural b tal que a = b⁺.