Considere a superfície z=f(x, y) onde z é dado implicitamente por x y z+z+ln (x y+z^2)+4=0. Determine partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

O enunciado dá uma superfície z=f(x,y) definida implicitamente pela equação
x,y,z ;+; z ;+;lnl(xy+z^2r);+;4 ;=;0
Este é um problema de diferenciação implícita: vamos tratar a expressão acima como F(x,y,z)=0 e usar as regras de derivada parcial para encontrar partial z/partial x e partial z/partial y.

Passo 2

Definimos a função de nível
F(x,y,z)=x,y,z + z + lnl(xy+z^2r) + 4
A condição F(x,y,z)=0 caracteriza z em função de x e y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F mantendo as outras variáveis constantes:
Fx = partialpartial xl(xyzr) + partialpartial xl(ln(xy+z^2)r) = y,z + y,xy+z^2,,
Fy = x,z + x,xy+z^2,,
Fz = partialpartial zl(xyz+zr) + partialpartial zl(ln(xy+z^2)r) = x,y + 1 + 2,z,xy+z^2,

Passo 4

Pela diferenciação implícita temos
0 = Fx + Fz,partial zpartial x Longrightarrow partial zpartial x = -FxFz,
0 = Fy + Fz,partial zpartial y Longrightarrow partial zpartial y = -FyFz

Passo 5

Substituindo Fx, Fy e Fz nas fórmulas acima obtemos
partial zpartial x = -,y,z + dfracyxy+z^2, ,xy + 1 + dfrac2zxy+z^2,,
partial zpartial y = -,x,z + dfracxxy+z^2, ,xy + 1 + dfrac2zxy+z^2,

Resposta

partial zpartial x = -y,z + dfracyxy+z^2 xy + 1 + dfrac2zxy+z^2
partial zpartial y = -x,z + dfracxxy+z^2 xy + 1 + dfrac2zxy+z^2

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