Determine os máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no conjunto
Como
é compacto e
é contínua, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos (ou na fronteira) ou em pontos de fronteira. Vamos achar os pontos críticos e depois analisar cada “borda” de
.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Para ponto crítico interno requeremos
e
, ou seja
Passo 3
Dos candidatos
,
,
, apenas
satisfaz
, pois para
temos
. Logo só
é ponto crítico viável.
Passo 4
Analisamos a fronteira inferior
, com
. Definimos
Derivando,
Nos extremos do intervalo
e
temos
Passo 5
Analisamos a fronteira superior
, com
. Definimos
Derivando,
Avaliações:
Passo 6
Reunindo todos os valores:
O máximo absoluto é
em
e o mínimo absoluto é
em
e
.
Resposta
Máximo absoluto de
em
:
no ponto
.
Mínimo absoluto de em
:
nos pontos
e
.
Mínimo absoluto de