Determine os máximos e mínimos absolutos da função f(x, y)=x^4-2 y^2-2 x^2 no conjunto D=(x, y) in R^2 tal que |x| <= 1 e x^2 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de f(x,y)=x^4-2y^2-2x^2 no conjunto
D=(x,y)inR^2mid |x|<=1,;x^2<= y<=1
Como D é compacto e f é contínua, os extremos absolutos ocorrem em pontos críticos internos (ou na fronteira) ou em pontos de fronteira. Vamos achar os pontos críticos e depois analisar cada “borda” de D.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
fx = partial fpartial x=4x^3-4x=4x(x^2-1), fy = partial fpartial y=-4y
Para ponto crítico interno requeremos fx=0 e fy=0, ou seja
4x(x^2-1)=0Rightarrow xin0,pm1, -4y=0Rightarrow y=0

Passo 3

Dos candidatos (0,0), (1,0), (-1,0), apenas (0,0) satisfaz x^2<= y<=1, pois para x=pm1 temos x^2=1>0=y. Logo só (0,0) é ponto crítico viável.

Passo 4

Analisamos a fronteira inferior y=x^2, com |x|<=1. Definimos
g(x)=fl(x,x^2r) =x^4-2(x^2)^2-2x^2=-x^4-2x^2
Derivando,
g'(x)=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)=0Rightarrow x=0
Nos extremos do intervalo x=pm1 e x=0 temos
g(0)=0, g(pm1)=-1-2=-3

Passo 5

Analisamos a fronteira superior y=1, com |x|<=1. Definimos
h(x)=f(x,1)=x^4-2-2x^2
Derivando,
h'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0Rightarrow xin0,pm1
Avaliações:
h(0)=-2, h(pm1)=1-2-2=-3

Passo 6

Reunindo todos os valores:
f(0,0)=0, f(0,1)=-2, f(pm1,1)=-3
O máximo absoluto é 0 em (0,0) e o mínimo absoluto é -3 em (1,1) e (-1,1).

Resposta

Máximo absoluto de f em D: 0 no ponto (0,0).
Mínimo absoluto de f em D: -3 nos pontos (1,1) e (-1,1).

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