utilize o Cálculo Diferencial para encontrar as dimensões de um retângulo que tenha área igual a 12 m^2 e que a soma de todos os lados (perímetro) seja a menor possivel.

Passo 1

O enunciado pede para usar Cálculo Diferencial e encontrar as dimensões de um retângulo cuja área é fixa em 12, m^2 e cujo perímetro seja mínimo. Vamos aplicar otimização com restrição de área.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo em metros. A área é A=xy=12, de onde podemos escrever y=tfrac12x. O perímetro é P=2(x+y), logo substituindo a restrição temos:
P(x)=2l(x+12xr)

Passo 3

Para encontrar o mínimo de P(x), derivamos em relação a x e igualamos a zero:
P'(x)=2l(1-12x^2r)=0 implies 1-12x^2=0 implies x^2=12 implies x=raiz12
Como x>0, temos x=raiz12. Então
y=12x=12raiz12=raiz12

Passo 4

Para confirmar que é mínimo, calculamos a segunda derivada:
P''(x)=2cdot24x^3=48x^3,
que é positiva para x>0. Portanto o ponto crítico fornece perímetro mínimo, e temos x=y=raiz12.

Resposta

As dimensões que minimizam o perímetro são um quadrado de lados raiz12=2raiz3 metros.

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