utilize o Cálculo Diferencial para encontrar as dimensões de um retângulo que tenha área igual a
e que a soma de todos os lados (perímetro) seja a menor possivel.
Passo 1
O enunciado pede para usar Cálculo Diferencial e encontrar as dimensões de um retângulo cuja área é fixa em
e cujo perímetro seja mínimo. Vamos aplicar otimização com restrição de área.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo em metros. A área é
, de onde podemos escrever
. O perímetro é
, logo substituindo a restrição temos:
Passo 3
Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Como
Passo 4
Para confirmar que é mínimo, calculamos a segunda derivada:
que é positiva para
Resposta
As dimensões que minimizam o perímetro são um quadrado de lados
metros.