Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para usar completamento de quadrados na função quadrática f(x)=x^2+7x+15, encontrar as raízes reais (se houverem) e esboçar o gráfico. O conteúdo é funções do 2º grau, completamento de quadrados e análise de vértice e raízes.
Passo 2
Começamos escrevendo f(x) e isolando o termo constante para formar um quadrado perfeito:
Temos f(x)=x^2+7x+15. Primeiro, agrupe x^2+7x e deixa o +15 de fora temporariamente:
f(x)=\bigl(x^2+7x\bigr)+15.
Passo 3
Agora completamos o quadrado em x^2+7x. Pegamos metade de 7, que é 7/2, elevamos ao quadrado, que dá (7/2)^2=49/4. Então adicionamos e subtraímos 49/4:
f(x)=\bigl(x^2+7x+\tfrac{49}{4}\bigr)+15-\tfrac{49}{4}.
Passo 4
Reescrevendo o quadrado perfeito e simplificando o termo constante:
Converta 15 em quartos: 15=60/4, então 15−49/4=11/4.
Passo 5
Portanto obtém-se a forma canônica:
Dessa forma, o vértice é em x_v=−7/2 e y_v=11/4.
Passo 6
Para achar as raízes, igualamos f(x)=0 na forma canônica:
Isso implica
o que não tem solução real, pois um quadrado não pode ser negativo. Assim não há raízes reais.
Passo 7
Para confirmar, podemos ver o discriminante Δ=b^2−4ac em x^2+7x+15: Δ=7^2−4·1·15=49−60=−11<0, reforçando que não há raízes reais.
Passo 8
Para esboçar o gráfico: a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo), tem vértice em
, e intercepta o eixo y em f(0)=15. Não cruza o eixo x por não ter raízes reais.
Resposta
Não existem raízes reais. O vértice da parábola está em
, a abertura é para cima, e o gráfico intercepta o eixo y em
.