Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
4 x^2+16 x-7

Passo 1

A gente tem a função do 2º grau f(x)=4x²+16x−7; o objetivo é achar as raízes reais usando completamento de quadrados e depois esboçar o gráfico. O conteúdo aqui é reescrever a função no formato vértice para identificar raízes, vértice e concavidade.

Passo 2

Começo fatorando o 4 nos dois primeiros termos para facilitar o completamento:
f(x)=4x^2+16x-7=4l(x^2+4xr)-7

Passo 3

Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Para x²+4x, adiciono e subtraio (4/2)²=4:
x^2+4x=(x^2+4x+4)-4=(x+2)^2-4
Substituindo em f(x):
f(x)=4l((x+2)^2-4r)-7

Passo 4

Distribuo o 4 e simplifico para obter a forma vértice:
f(x)=4(x+2)^2-16-7=4(x+2)^2-23
Dessa forma, o vértice é (−2,−23) e a concavidade é para cima (coeficiente principal positivo).

Passo 5

Agora, para achar as raízes, igualo a zero:
4(x+2)^2-23=0
Então
4(x+2)^2=23
(x+2)^2=234
x+2=pmraiz232
x=-2pmraiz232

Passo 6

Para esboçar o gráfico: concavidade para cima, vértice em (−2,−23), eixo de simetria x=−2, intercepto em y: f(0)=−7 e cruzamentos com o eixo x nos valores que acabamos de achar.

Resposta

As raízes reais são x=-2+tfracraiz232 e x=-2-tfracraiz232. O gráfico é uma parábola com concavidade para cima, vértice em (-2, -23), intercepto em y igual a -7 e eixo de simetria x=-2.

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