Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2+4 x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função do segundo grau: x^2 + 4x + 3. Nosso objetivo aqui é encontrar as raízes reais dessa função usando o método de completamento de quadrados. Além disso, vamos dar uma espiada no gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas e como completá-las para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função do segundo grau. Ela tem a forma geral:
ax^2 + bx + c
No nosso caso, a = 1, b = 4 e c = 3. O completamento do quadrado é uma técnica que transforma a equação em uma forma que facilita encontrar as raízes (os valores de x que fazem a função igual a zero).

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para a nossa equação:
x^2 + 4x + 3 = 0
Primeiro, tire o coeficiente de x^2 (que já é 1, então não precisamos mudar nada). Agora, pegue o coeficiente de x, que é 4, e divida por 2, ficando 2. Em seguida, eleva ao quadrado:
2^2 = 4
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
x^2 + 4x + 4 - 4 + 3 = 0
Isso simplifica para:
(x + 2)^2 - 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver para encontrar as raízes:
(x + 2)^2 - 1 = 0 (x + 2)^2 = 1 x + 2 = pm raiz1 x + 2 = pm 1
Isolando x:
x = -2 pm 1
Então, temos duas soluções:
x = -2 + 1 = -1 x = -2 - 1 = -3

Passo 5

Para esboçar o gráfico, sabemos que a parábola abre para cima (já que o coeficiente de x^2 é positivo). As raízes são x = -1 e x = -3, que são os pontos onde a parábola corta o eixo x. O vértice da parábola fica exatamente no meio dessas raízes, em x = -2. Calculando y no vértice:
y = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Então, o vértice é (-2, -1).

Resposta

As raízes reais da função x^2 + 4x + 3 são x = -1 e x = -3. O gráfico é uma parábola que abre para cima, cortando o eixo x nesses pontos e com vértice em (-2, -1).

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