Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma função do segundo grau:
. Nosso objetivo aqui é encontrar as raízes reais dessa função usando o método de completamento de quadrados. Além disso, vamos dar uma espiada no gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações quadráticas e como completá-las para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função do segundo grau. Ela tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
. O completamento do quadrado é uma técnica que transforma a equação em uma forma que facilita encontrar as raízes (os valores de
que fazem a função igual a zero).
Passo 3
Vamos começar completando o quadrado para a nossa equação:
Primeiro, tire o coeficiente de
(que já é 1, então não precisamos mudar nada). Agora, pegue o coeficiente de
, que é 4, e divida por 2, ficando 2. Em seguida, eleva ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor dentro da equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver para encontrar as raízes:
Isolando
:
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, sabemos que a parábola abre para cima (já que o coeficiente de
é positivo). As raízes são
e
, que são os pontos onde a parábola corta o eixo
. O vértice da parábola fica exatamente no meio dessas raízes, em
. Calculando
no vértice:
Então, o vértice é
.
Resposta
As raízes reais da função
são
e
. O gráfico é uma parábola que abre para cima, cortando o eixo
nesses pontos e com vértice em
.