Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
x^2-8 x+19

Passo 1

O enunciado pede pra usar completamento de quadrados na função do segundo grau f(x) = x^2 - 8x + 19, encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar o gráfico. Vamos aplicar o método de completar quadrados para reescrever a função na forma canônica e daí extrair todas as informações.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em f(x):
x^2 - 8x + 19 = (x^2 - 8x + 16) + 3 = (x - 4)^2 + 3
Nessa etapa, adicionamos e subtraímos 16 (que é (8/2)^2) para montar o quadrado perfeito.

Passo 3

Para achar as raízes, igualamos à zero a forma canônica:
(x - 4)^2 + 3 = 0
Isso dá
(x - 4)^2 = -3
Como não existem números reais cujo quadrado seja negativo, concluímos que não há raízes reais.

Passo 4

Da forma completa, identificamos o vértice e a concavidade. A função está em
f(x) = (x - 4)^2 + 3
Logo o vértice é (4, 3) e, como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima.

Passo 5

Para esboçar o gráfico: a parábola tem vértice em (4,3), não corta o eixo x, e intercepta o eixo y em f(0)=19. A curva vai descendo até o vértice e depois sobe indefinidamente, sempre acima do eixo x.

Resposta

Não há raízes reais. O gráfico é uma parábola com vértice em (4,3), concavidade para cima e sem interseção com o eixo x.

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