Utilize completamento de quadrados para encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar os gráficos das funções do segundo grau abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra usar completamento de quadrados na função do segundo grau f(x) = x^2 - 8x + 19, encontrar as raízes reais (se existirem) e esboçar o gráfico. Vamos aplicar o método de completar quadrados para reescrever a função na forma canônica e daí extrair todas as informações.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em f(x):
Nessa etapa, adicionamos e subtraímos 16 (que é (8/2)^2) para montar o quadrado perfeito.
Passo 3
Para achar as raízes, igualamos à zero a forma canônica:
Isso dá
Como não existem números reais cujo quadrado seja negativo, concluímos que não há raízes reais.
Passo 4
Da forma completa, identificamos o vértice e a concavidade. A função está em
Logo o vértice é (4, 3) e, como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima.
Passo 5
Para esboçar o gráfico: a parábola tem vértice em (4,3), não corta o eixo x, e intercepta o eixo y em f(0)=19. A curva vai descendo até o vértice e depois sobe indefinidamente, sempre acima do eixo x.
Resposta
Não há raízes reais. O gráfico é uma parábola com vértice em (4,3), concavidade para cima e sem interseção com o eixo x.