Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x-2|+|2 x+3|

Passo 1

O enunciado pede para expressar sem módulos a soma de valores absolutos |x-2|+|2x+3|. O conteúdo envolvido é valor absoluto e vamos usar estudo de sinais para remover os módulos, dividindo a reta em intervalos definidos pelas raízes de x-2 e 2x+3.

Passo 2

Primeiro, encontramos as raízes: para x-2=0 temos x=2; para 2x+3=0 temos x=-tfrac32. Assim, dividimos o domínio em três intervalos: x< -tfrac32, -tfrac32<= x<2 e x>=2.

Passo 3

Agora, em cada intervalo, analisamos o sinal de cada expressão dentro do módulo e removemos o módulo:
Para x< -tfrac32: x-2<0 e 2x+3<0, então
|x-2|=2-x e |2x+3|=-2x-3.
A soma fica
(2-x)+(-2x-3)=-3x-1.
Para -tfrac32<= x<2: x-2<0 e 2x+3>=0, então
|x-2|=2-x e |2x+3|=2x+3.
A soma fica
(2-x)+(2x+3)=x+5.
Para x>=2: x-2>=0 e 2x+3>0, então
|x-2|=x-2 e |2x+3|=2x+3.
A soma fica
(x-2)+(2x+3)=3x+1.

Passo 4

Reunindo tudo, obtemos a expressão da soma sem os módulos em forma de função por partes conforme cada intervalo.

Resposta

[\n|x-2|+|2x+3| =
\begin{cases}
-3x-1, & x< -\tfrac32,\
x+5, & -\tfrac32\le x<2,\
3x+1, & x\ge2.
\end{cases}
]

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