Utilize os conhecimentos de Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando Transformada de Laplace. A equação que temos é:
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para $ Y(s) $, que é a transformada da função $ y(x) $. Depois, usamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, a de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $, e a de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a transformada de $ e^{-2x} $ é $ \frac{1}{s + 2} $. Aplicando isso, temos:
Passo 3
Vamos simplificar a equação acima. Distribuindo e juntando os termos de $ Y(s) $:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos isolar $ Y(s) $. Primeiro, movemos os termos constantes para o outro lado da equação:
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ s^2 + 2s + 5 $:
Passo 5
Vamos simplificar a fração $ \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5} $. Completando o quadrado no denominador:
Então, a fração fica:
Sabemos que:
e
Usando isso, teremos parte da solução.
Passo 6
Vamos agora tratar a primeira fração $ \frac{3}{(s + 2)(s^2 + 2s + 5)} $ usando frações parciais. Vamos assumir que:
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)((s + 1)^2 + 4) $, temos:
Vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 7
Para encontrar $ A $, escolhemos $ s = -2 $:
Para encontrar $ B $ e $ C $, expandimos e igualamos os coeficientes:
Expandindo:
Substituindo $ A = \frac{3}{5} $:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
- Para $ s^2 $:
- Para $ s $:
Passo 8
Agora, substituímos $ A $, $ B $ e $ C $ de volta na decomposição:
Simplificando:
Passo 9
Agora, montamos $ Y(s) $ com todas as partes:
Simplificando os termos semelhantes:
Ou seja:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
- Para $ \frac{1}{s + 2} $:
- Para $ \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4} $:
- Para $ \frac{1}{(s + 1)^2 + 4} $:
Passo 11
Finalmente, juntando todas as transformadas inversas com os coeficientes:
Resposta
A solução da equação diferencial é: