Utilize os conhecimentos de Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas:
y^prime prime+2 y^prime+5 y=3 e^-2 x
y(0)=1 e y^prime(0)=1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando Transformada de Laplace. A equação que temos é:
y'' + 2 y' + 5 y = 3 e^-2x
com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e resolver para $ Y(s) $, que é a transformada da função $ y(x) $. Depois, usamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, a de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $, e a de $ y $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a transformada de $ e^{-2x} $ é $ \frac{1}{s + 2} $. Aplicando isso, temos:
y''

Passo 3

Vamos simplificar a equação acima. Distribuindo e juntando os termos de $ Y(s) $:
Y(s)
Agrupando os termos semelhantes:
s^2 Y(s) - s - 1 + 2s Y(s) - 2 + 5 Y(s) = 3s + 2

Passo 4

Agora, vamos isolar $ Y(s) $. Primeiro, movemos os termos constantes para o outro lado da equação:
Y(s)
Em seguida, dividimos ambos os lados por $ s^2 + 2s + 5 $:
( s^2 + 2s + 5 ) Y(s) = 3s + 2 + s + 3

Passo 5

Vamos simplificar a fração $ \frac{s + 3}{s^2 + 2s + 5} $. Completando o quadrado no denominador:
s + 3s^2 + 2s + 5
Então, a fração fica:
s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4
Sabemos que:
s + 3(s + 1)^2 + 4 = (s + 1) + 2(s + 1)^2 + 4 = s + 1(s + 1)^2 + 4 + 2(s + 1)^2 + 4
e
L^-1s + a(s + a)^2 + b^2 = e^-a x cos(bx)
Usando isso, teremos parte da solução.

Passo 6

Vamos agora tratar a primeira fração $ \frac{3}{(s + 2)(s^2 + 2s + 5)} $ usando frações parciais. Vamos assumir que:
3(s + 2)(s^2 + 2s + 5)
Multiplicando ambos os lados por $ (s + 2)((s + 1)^2 + 4) $, temos:
3(s + 2)((s + 1)^2 + 4) = As + 2 + B(s + 1) + C(s + 1)^2 + 4
Vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 7

Para encontrar $ A $, escolhemos $ s = -2 $:
A
Para encontrar $ B $ e $ C $, expandimos e igualamos os coeficientes:
Expandindo:
s = -2
Substituindo $ A = \frac{3}{5} $:
3 = A(((-2) + 1)^2 + 4) + 0 Rightarrow 3 = A(1 + 4) Rightarrow A = 35
Agrupando os termos:
B
Igualando os coeficientes:
  1. Para $ s^2 $:
C
  1. Para $ s $:
3 = A(s^2 + 2s + 5) + B(s^2 + 3s + 2) + C(s + 2)

Passo 8

Agora, substituímos $ A $, $ B $ e $ C $ de volta na decomposição:
A
Simplificando:
B

Passo 9

Agora, montamos $ Y(s) $ com todas as partes:
Y(s)
Simplificando os termos semelhantes:
Y(s) = 35 cdot 1s + 2 - 35 cdot s + 1(s + 1)^2 + 4 + 35 cdot 1(s + 1)^2 + 4 + s + 1(s + 1)^2 + 4 + 2(s + 1)^2 + 4
Ou seja:
Y(s) = 35 cdot 1s + 2 + (1 - 35) cdot s + 1(s + 1)^2 + 4 + (2 + 35) cdot 1(s + 1)^2 + 4

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
  1. Para $ \frac{1}{s + 2} $:
1s + 2
  1. Para $ \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 4} $:
L^-11s + 2 = e^-2x
  1. Para $ \frac{1}{(s + 1)^2 + 4} $:
s + 1(s + 1)^2 + 4

Passo 11

Finalmente, juntando todas as transformadas inversas com os coeficientes:
y(x) = 35 e^-2x + 25 e^-x cos(2x) + 1310 e^-x sin(2x)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 35 e^-2x + 25 e^-x cos(2x) + 1310 e^-x sin(2x)

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